4. Zadatak

Iz zadana prva tri člana niza možemo zaključiti da svaki idući lik ima točno dva kvadratića više, jedan se dodaje na vrh, a jedan na dnu desno.

Prvi način:

Da bismo odredili formulu za računanje opsega traženog lika, treba uočiti da je u svakom liku broj stranica kvadrata isti s donje i gornje strane, odnosno s lijeve i desne strane.

Označimo s $a$ duljinu stranice kvadrata. Tada su opsezi prva tri člana niza (prva tri lika):

$$o_1=(2a+3a)\cdot2=10a$$ $$o_2=(3a+4a)\cdot2=14a$$ $$o_3=(4a+5a)\cdot2=18a$$

Opseg $2021.$ lika u nizu možemo izračunati kao

$$o_{2021}=(2022a+2023a)\cdot2=4045a\cdot2=8090a.$$

Iz $o_{2021}=40\,450\ \mathrm{cm}$ slijedi:

$$8090a=40\,450\ \mathrm{cm}$$ $$a=(40\,450:8090)\ \mathrm{cm}=5\ \mathrm{cm}$$

Duljina stranice kvadrata iznosi $5\ \mathrm{cm}$.

Da bismo izračunali površinu traženog lika, trebamo uočiti da se svaki lik sastoji od određenog broja kvadrata u donjem redu i isto toliko kvadrata iznad prvog kvadrata iz donjeg reda.

Označimo s $n_k$ broj kvadrata u $k$-tom liku. Tada je:

$$n_1=2\cdot2=4$$ $$n_2=3\cdot2=6$$ $$n_3=4\cdot2=8$$ $$\ldots$$ $$n_{2021}=2022\cdot2=4044.$$

Površina jednog kvadrata je

$$P=a\cdot a=5\cdot5=25\ \mathrm{cm}^2,$$

pa je površina $2021.$ lika u nizu jednaka

$$P_{2021}=n_{2021}\cdot P=4044\cdot25\ \mathrm{cm}^2=101100\ \mathrm{cm}^2.$$

Površina $2021.$ lika iznosi $101\,100\ \mathrm{cm}^2$.

Drugi način:

Označimo s $a$ duljinu stranice kvadrata.

Površina i opseg likova u nizu prikažimo tablicom:

Redni broj lika u nizu $n$	Broj kvadrata u liku $k$	Površina lika $P$	Opseg lika $o$
$1$	$4=2\cdot2$	$4a^2$	$10a=5\cdot2a$
$2$	$6=3\cdot2$	$6a^2$	$14a=7\cdot2a$
$3$	$8=4\cdot2$	$8a^2$	$18a=9\cdot2a$
$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$
$n$	$(n+1)\cdot2$	$2(n+1)a^2$	$(2n+3)\cdot2a$

Računamo opseg $2021.$ lika u nizu:

$$o_n=(2n+3)\cdot2a$$ $$o_{2021}=(2\cdot2021+3)\cdot2a$$ $$o_{2021}=8090a$$ $$o_{2021}=40\,450\ \mathrm{cm}$$ $$a=5\ \mathrm{cm}$$

Površina $2021.$ lika u nizu je:

$$P_n=2(n+1)\cdot a^2$$ $$P_{2021}=2\cdot(2021+1)\cdot a^2$$ $$P_{2021}=4044a^2$$ $$P_{2021}=101100\ \mathrm{cm}^2$$