1. Zadatak

Maja je popunila svoj album sa sličicama, a ostatak sličica odlučila je podijeliti prijateljima za njihove albume. Šestinu svojih sličica poklonila je Luni. Kad je vidjela kako se Luna razveselila, poklonila joj je još $5$ sličica. Dvije petine preostalih sličica i još $5$ sličica poklonila je Sofiji, a nakon toga je Marku poklonila tri četvrtine preostalih sličica i još $5$ sličica. Na kraju su joj ostale dvije sličice. Vidjevši da podjela nije baš bila poštena, Maja je preostale dvije sličice poklonila osobi kojoj je prethodno dala najmanje sličica. Koliko je sličica dobila Luna, koliko Sofija, a koliko Marko?

Prvo rješenje.

Zadatak rješavamo unatrag. Da Marku nije poklonila onih $5$ sličica, Maji bi ostalo $7$ sličica.

Kako je Marku dala $\frac{3}{4}$ sličica, tih $7$ sličica je četvrtina ostatka sličica. Može se zaključiti da je prije nego što je Marko dobio sličice bilo $4\cdot7=28$ sličica.

Marko je dobio $3\cdot7+5=26$ sličica.

Sofija je dobila dvije petine sličica preostalih nakon Lune i još $5$ sličica. Da nije dobila tih $5$ , preostalih bi sličica bilo $28+5=33$ , a to čini tri petine preostalih sličica. $\frac{1}{5}$ sličica tako iznosi $33:3=11$ , pa zaključujemo da ih je ukupno bilo $55$ .

Sofija je dobila $2\cdot11+5=27$ sličica.

Luna je dobila šestinu Majinih sličica i još $5$ sličica. Da nije dobila tih $5$ , Maji bi ostalo $5+55=60$ sličica. Tih $60$ sličica su $\frac{5}{6}$ svih Majinih sličica, pa zaključujemo da je jedna šestina sličica $60:5=12$ . Ukupno je, dakle, bilo $6\cdot12=72$ sličice.

Luna je dobila $1\cdot12+5=17$ sličica.

Kako je Luna dobila najmanje sličica, na kraju joj je Maja poklonila preostale dvije, pa je Luna ukupno dobila $19$ sličica. Marko je dobio $26$ , a Sofija $27$ sličica.

Drugo rješenje.

Neka je $x$ broj sličica koje je Maja odlučila podijeliti prijateljima.

Luni je poklonila $\frac{1}{6}x+5$ sličica.

Nakon toga joj je ostalo

x-\left(\frac{1}{6}x+5\right)=\frac{5}{6}x-5

sličica.

Sofiji je poklonila

\frac{2}{5}\left(\frac{5}{6}x-5\right)+5=\frac{1}{3}x-2+5=\frac{1}{3}x+3

sličice.

Ostalo joj je

\frac{5}{6}x-5-\left(\frac{1}{3}x+3\right)=\frac{5}{6}x-5-\frac{1}{3}x-3=\frac{1}{2}x-8

sličica.

Marku je poklonila

\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}x-8\right)+5=\frac{3}{8}x-6+5=\frac{3}{8}x-1

sličicu.

Ostale su joj još dvije sličice pa vrijedi:

\frac{1}{6}x+5+\frac{1}{3}x+3+\frac{3}{8}x-1=x-2.

Sređivanjem dobivamo $\frac{21}{24}x+7=x-2$ , odnosno $x=72$ .

Dakle, Maja je na početku imala $72$ sličice.

Luna je dobila $\frac{1}{6}\cdot72+5=17$ sličica.

Sofija je dobila $\frac{1}{3}\cdot72+3=27$ sličica.

Marko je dobio $\frac{3}{8}\cdot72-1=26$ sličica.

Budući da je Luna dobila najmanje sličica, na kraju joj je Maja poklonila preostale dvije, pa je Luna ukupno dobila $19$ sličica. Marko je dobio $26$ , a Sofija $27$ sličica.