3. Zadatak

Koliko ima troznamenkastih prirodnih brojeva takvih da je zbroj toga broja i troznamenkastoga broja napisanog istim znamenkama, ali u obrnutom redoslijedu, djeljiv s $4$ ?

Neka je $\overline{abc}$ troznamenkasti broj. Tada je $\overline{cba}$ troznamenkasti broj napisan istim znamenkama, ali u obrnutom redoslijedu, pa vrijedi

\overline{abc}+\overline{cba}=101a+101c+20b=101(a+c)+20b.

Budući da je $20b$ djeljiv s $4$ za bilo koji broj $b$ , a $101$ nije djeljiv s $4$ , prema pravilu za djeljivost razlike i pravilu za djeljivost umnoška slijedi da broj $a+c$ mora biti djeljiv s $4$ .

Ako je $a+c=4$ , imamo $3$ mogućnosti.


$a$	$1$	$2$	$3$
$c$	$3$	$2$	$1$

Ako je $a+c=8$ , imamo $7$ mogućnosti.


$a$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$c$	$7$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$	$1$

Ako je $a+c=12$ , imamo $7$ mogućnosti.


$a$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$c$	$9$	$8$	$7$	$6$	$5$	$4$	$3$

Ako je $a+c=16$ , imamo $3$ mogućnosti.


$a$	$7$	$8$	$9$
$c$	$9$	$8$	$7$

Ukupno imamo $20$ mogućnosti, a budući da $b$ može biti bilo koja znamenka ukupno postoji $20\cdot10=200$ traženih brojeva.