4. Zadatak

Prvo rješenje.

Promotrimo trokute $ABF$ i $CEF$.

Prema uvjetu zadatka vrijedi da je $|AB|=|CD|$, a budući da je trokut $CDE$ jednakostraničan tada je i $|AB|=|CE|$.

Jednakostraničnim trokutima $ACF$ i $CDE$ svi su kutovi veličine $60^\circ$, pa je i $|\angle ECF|=60^\circ$ jer zajedno s $\angle FCA$ i $\angle DCE$ čini ispruženi kut.

Vrijedi $|AF|=|CF|$ jer je $ACF$ jednakostranični trokut.

Dakle, trokuti $ABF$ i $CEF$ su sukladni prema poučku S-K-S.

Stoga zaključujemo da vrijedi $|\angle AFB|=|\angle CFE|$.

Budući da je $|\angle AFC|=|\angle AFB|+|\angle BFC|=60^\circ$, a $|\angle BFE|=|\angle BFC|+|\angle CFE|$ slijedi da je i $|\angle BFE|=60^\circ$.

Zbog sukladnosti trokuta $ABF$ i $CEF$ vrijedi da je $|BF|=|EF|$, to jest trokut $BEF$ je jednakokračan s kutom nasuprot osnovice $60^\circ$.

Preostala dva kuta trokuta $BEF$ tada imaju veličinu $(180^\circ-60^\circ):2=60^\circ$.

Dakle, trokut $BEF$ je jednakostraničan.

Drugo rješenje.

Sa suprotne strane pravca $p$ nacrtamo jednakostraničan trokut $BHC$.

Prema uvjetu zadatka vrijedi da je $|AB|=|CD|$, a budući da je trokut $CDE$ jednakostraničan tada je i $|AB|=|CE|$. Trokut $BHC$ je jednakostraničan pa je $|BC|=|CH|$.

Tada je $|CF|=|AB|+|BC|$ i $|HE|=|CE|+|CH|$, to jest $|CF|=|HE|$.

Za kutove vrijedi $|\angle FCB|=|\angle EHB|=60^\circ$.

Dakle, trokuti $BCF$ i $BHE$ su sukladni prema poučku S-K-S. $(1)$

Slijedi $|BF|=|BE|$.

Dakle, trokut $BEF$ je jednakokračan, pa je $|\angle FEB|=|\angle BFE|$.

Iz $(1)$ slijedi $|\angle CBF|=|\angle HBE|$. $(2)$

Dalje, iz $(2)$ i $|\angle CBF|=|\angle CBE|+|\angle EBF|$ te $|\angle HBE|=|\angle HBC|+|\angle CBE|$, slijedi $|\angle EBF|=|\angle HBC|=60^\circ$.

Iz $|\angle FEB|=|\angle BFE|$ i $|\angle EBF|=60^\circ$ slijedi $|\angle FEB|=|\angle BFE|=60^\circ$, pa je trokut $BEF$ jednakostraničan.