5. Zadatak
Kolo sreće podijeljeno je na osam jednakih kružnih isječaka i možemo ga vrtjeti. Svaki kružni isječak moramo obojiti točno jednom bojom (plavom, žutom ili crvenom). Dva rasporeda boja smatramo istim ako se jedan može dobiti od drugoga vrtnjom kola. Na koliko načina možemo obojiti kružne isječke ako nikoja dva susjedna isječka ne smiju biti iste boje, a svaka se boja mora iskoristiti barem jednom?
Najveći broj kružnih isječaka (polja) obojen istom bojom je četiri, tada će svako drugo polje biti obojeno tom bojom. Neka je ta boja plava.
Preostala četiri polja mogu biti ili tri jedne boje (neka je to crvena), a jedno boje koja je preostala (žuta), ili po dva u svakoj od tih boja.
Dobivamo sljedeća bojenja:
Budući da možemo odabrati između tri boje kojima ćemo obojiti četiri, tri ili jedno polje, tada ovakvih bojenja ima .
U slučaju bojenja četiri polja jednom bojom, a preostala dva drugom bojom dobivamo dvije prikazane mogućnosti kako to možemo učiniti.
Po dva polja obojena istom bojom mogu biti ili nasuprotna ili obojena tako da je između polja obojenih istom bojom jedno plavo polje.
Sve druga bojenja u ovom slučaju moguće je dobiti od prikazanih vrtnjom kola, što znači da trebamo odabrati samo boju kojom će biti obojena četiri istobojna polja. To u svakom od prikaza možemo na tri načina. Dakle, ovakvih je bojenja .
Promotrimo bojenja u kojima su po tri polja obojena s dvije boje (plavom i crvenom bojom), a dva polja s preostalom (žutom) bojom.
Razlikujemo tri položaja u kojima se mogu nalaziti dva polja koja bojimo žutom bojom:
Promotrimo bojenja za svaki od ta tri položaja.
Polje koje se nalazi između dvaju žutih polja mora biti obojeno različitom bojom od dva polja koja su susjedna žutim poljima jer bi inače preostala polja bilo nemoguće obojiti tako da nikoja dva susjedna nisu obojena istom bojom. Budući da možemo odabrati između tri boje kojima ćemo obojiti polja, tada ovakvih bojenja ima .
Kad je dva polja razmaka između obojenih žutih polja, tada ta polja između moraju biti obojena različitim bojama, a polja koja su im nasuprotna mogu biti ili njima istih boja ili različitih boja.
Preostala dva polja bojimo tako da vodimo računa da susjedna polja nisu iste boje. Dobili smo dvije različite mogućnosti, a u svakoj od njih možemo boje za bojenje polja birati na načina, pa je ovih mogućnosti ukupno .
U posljednjem slučaju je tri polja razmaka između žutih polja, što znači da od tri polja ona krajnja sa svake strane moraju biti iste boje.
Zamjenom plave i crvene boje dobili bismo bojenje koje je moguće postići vrtnjom kola, tako da je potrebno odabrati samo tri boje kojima bojimo dva polja. Dakle, su moguća bojenja.
Ukupan broj bojenja prema zadanim uvjetima je: .