3. Zadatak

Kut podijelimo na dva dijela: $x$ i $2x$. Tada je:

$$x+2x=315^\circ$$ $$3x=315^\circ$$ $$x=105^\circ$$ $$2x=210^\circ$$ $$315^\circ=105^\circ+210^\circ$$

Kut podijelimo na tri dijela: $x$, $2x$ i $4x$. Tada je:

$$x+2x+4x=315^\circ$$ $$7x=315^\circ$$ $$x=45^\circ$$ $$2x=90^\circ,\qquad 4x=180^\circ$$ $$315^\circ=45^\circ+90^\circ+180^\circ$$

Kut podijelimo na četiri dijela: $x$, $2x$, $4x$ i $8x$. Tada je:

$$x+2x+4x+8x=315^\circ$$ $$15x=315^\circ$$ $$x=21^\circ$$ $$2x=42^\circ,\qquad 4x=84^\circ,\qquad 8x=168^\circ$$ $$315^\circ=21^\circ+42^\circ+84^\circ+168^\circ$$

Kut podijelimo na pet dijelova: $x$, $2x$, $4x$, $8x$ i $16x$. Tada je:

$$x+2x+4x+8x+16x=315^\circ$$ $$31x=315^\circ$$

Broj $315$ nije djeljiv brojem $31$, pa nije moguća podjela na pet dijelova uz zadani uvjet da je svaki sljedeći dio dvostruko veći od prethodnog.

Kut podijelimo na šest dijelova: $x$, $2x$, $4x$, $8x$, $16x$ i $32x$. Tada je:

$$x+2x+4x+8x+16x+32x=315^\circ$$ $$63x=315^\circ$$ $$x=5^\circ$$ $$2x=10^\circ,\qquad 4x=20^\circ,\qquad 8x=40^\circ,\qquad 16x=80^\circ,\qquad 32x=160^\circ$$ $$315^\circ=5^\circ+10^\circ+20^\circ+40^\circ+80^\circ+160^\circ$$

Ako kut dijelimo na 7 ili 8 dijelova uz zadane uvjete, dobijemo jednadžbe $127x=315^\circ$ i $255x=315^\circ$ koje nemaju rješenje u skupu prirodnih brojeva.

Ako kut dijelimo na 9 i više dijelova uz zadane uvjete, dobijemo da je najmanji dio $x$ manji od $1^\circ$, pa ne može biti prirodan broj.

Dakle, na opisani način kut veličine $315^\circ$ možemo podijeliti na 2, 3, 4 i 6 dijelova.