4. Zadatak

Neka je $j$ broj minuta za koje Janko može obaviti posao, a $m$ broj minuta za koje Matko može obaviti posao. Prema uvjetu zadatka vrijedi da je $j=m+30$.

U minuti Janko obavi $\dfrac1j$ posla, Matko $\dfrac1m$ posla, a zajednički obave $\dfrac1j+\dfrac1m$ posla.

Zajedno cijeli posao dovrše za 36 minuta, pa u minuti obave $\dfrac1{36}$ posla, tj. vrijedi

$$\frac1j+\frac1m=\frac1{36}.$$

Budući da je $j=m+30$, dobivamo

$$\frac1{m+30}+\frac1m=\frac1{36}.$$

Sređivanjem tog izraza dobit ćemo:

$$\frac{m}{m(m+30)}+\frac{m+30}{m(m+30)}=\frac1{36},$$

tj.

$$\frac{2m+30}{m(m+30)}=\frac1{36}.$$

Dalje dobivamo redom:

$$36(2m+30)=m(m+30),$$ $$72m+1080=m^2+30m,$$ $$m^2-42m-1080=0.$$

Tu jednadžbu možemo napisati u obliku $m^2-2m\cdot21+441=1080+441$, tj.

$$(m-21)^2=39^2.$$

Prema tome je $m-21=39$ ili $m-21=-39$, odnosno $m=60$ ili $m=-18$.

Prema uvjetu zadatka jasno je da rješenje ne može biti negativan broj.

To znači da Matko sam završi posao za 60, a Janko za 90 minuta.