6. Zadatak

Elementi skupa $A$ su svi četveroznamenkasti prirodni brojevi kojima je znamenka stotica jednaka $4$ . Elementi skupa $B$ su svi četveroznamenkasti prirodni brojevi kojima je znamenka desetica jednaka $4$ . Elementi skupa $C$ su svi četveroznamenkasti prirodni brojevi kojima je znamenka jedinica jednaka $4$ . Odredi broj elemenata skupa $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

Prvo rješenje.

Skupu $A \cap B$ pripadaju brojevi oblika $overline{a44d}$ , pri čemu je $a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ i $d \in \{0, 1, 2, \ldots, 9\}$ . Znamenku $a$ možemo odabrati na $9$ načina. Za svaku vrijednost znamenke $a$ znamenku $d$ možemo odabrati na $10$ načina, pa ukupan broj elemenata skupa $A \cap B$ iznosi $9 \cdot 10 = 90$ .

Skupu $A \cap C$ pripadaju brojevi oblika $overline{a4c4}$ , pri čemu je $a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ i $c \in \{0, 1, 2, \ldots, 9\}$ . Na isti način zaključujemo da je broj elemenata skupa $A \cap C$ također jednak $90$ .

U oba skupa, tj. u presjeku $(A \cap B) \cap (A \cap C) = A \cap B \cap C$ se nalaze brojevi oblika $overline{a444}$ , pri čemu je $a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ i takvih brojeva ima $9$ .

U uniji $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ se nalaze brojevi koji se nalaze u skupu $A \cap B$ ili $A \cap C$ , ali elemente u njihovom presjeku ne smijemo brojati dva puta.

Stoga broj elemenata skupa $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ iznosi $90 + 90 - 9 = 171$ .

Drugo rješenje.

Skupu $A \cap B$ , ali ne i u skupu $A \cap C$ , pripadaju brojevi oblika $overline{a44d}$ , pri čemu je $a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ i $d \in \{0, 1, 2, \ldots, 9\}$ , $d \ne 4$ . Znamenku $a$ možemo odabrati na $9$ načina. Za svaku vrijednost znamenke $a$ znamenku $d$ možemo odabrati na $9$ načina, pa ukupan broj elemenata skupa $A \cap B$ koji nisu u skupu $A \cap C$ iznosi $9 \cdot 9 = 81$ .

Skupu $A \cap C$ , ali ne i u skupu $A \cap B$ , pripadaju brojevi oblika $overline{a4c4}$ , pri čemu je $a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ i $c \in \{0, 1, 2, \ldots, 9\}$ , $c \ne 4$ . Znamenku $a$ možemo odabrati na $9$ načina. Za svaku vrijednost znamenke $a$ znamenku $c$ možemo odabrati na $9$ načina, pa ukupan broj elemenata skupa $A \cap C$ koji nisu u skupu $A \cap B$ iznosi $9 \cdot 9 = 81$ .

U oba skupa, tj. u presjeku $(A \cap B) \cap (A \cap C) = A \cap B \cap C$ se nalaze brojevi oblika $overline{a444}$ , pri čemu je $a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ i takvih brojeva ima $9$ .

U uniji $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ se nalaze brojevi koji se nalaze u samo jednom od skupova $A \cap B$ ili $A \cap C$ , te oni koji se nalaze u njihovom presjeku.

Stoga broj elemenata skupa $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ iznosi $81 + 81 + 9 = 171$ .