6. Zadatak

Skica:

Označimo $|AB|=|CD|=a$ i $|BC|=|DA|=b$.

Tada je $|AE|=|EF|=|FD|=\frac{b}{3}$.

$S$ je sjecište dijagonala, a dijagonale pravokutnika su jednake i raspolavljaju se u svom sjecištu. To znači da su jednakokračni trokuti $DAS$ i $BCS$ sukladni, pa imaju jednake visine na osnovicu.

U trokutu $BCS$ visina na stranicu $\overline{BC}$ ima duljinu $\frac{a}{2}$.

Tada je

$$p_{BCS}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot\frac{a}{2}=\frac{ab}{4}.$$

Površina pravokutnog trokuta $ABE$ jednaka je površini pravokutnog trokuta $CDF$

i iznosi

$$p_{ABE}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{b}{3}=\frac{ab}{6}.$$

Vrijedi:

$$p_{EBSCF}=p_{ABCD}-(p_{ABE}+p_{CDF}+p_{BCS})$$ $$p_{EBSCF}=ab-\left(\frac{ab}{6}+\frac{ab}{6}+\frac{ab}{4}\right)=\frac{12-(2+2+3)}{12}\cdot ab=\frac{5}{12}\cdot ab$$

Dakle,

$$p_{EBSCF}=\frac{5}{12}p_{ABCD}.$$

Traženi omjer površina je

$$p_{EBSCF}:p_{ABCD}=5:12.$$