2. Zadatak

Prvi način:

U pravokutnom trokutu jedan vanjski kut je pravi kut. Neka su $\alpha_1$ i $\beta_1$ veličine preostalih dvaju vanjskih kutova tog trokuta.

Zbroj veličina vanjskih kutova trokuta iznosi $360^\circ$, pa vrijedi:

$$\alpha_1+\beta_1+90^\circ=360^\circ,$$

odnosno $\alpha_1+\beta_1=270^\circ$.

Budući da je $\alpha_1:\beta_1=7:11$, postoji racionalan broj $k$ takav da je $\alpha_1=7k$ i $\beta_1=11k$.

Tada je $7k+11k=270^\circ$

$$18k=270^\circ$$ $$k=15^\circ$$

Tada je $\alpha_1=7\cdot15=105^\circ$.

Onda je $\alpha=180^\circ-105^\circ=75^\circ$,

a kut $\beta=90^\circ-75^\circ=15^\circ$.

Drugi način:

Neka su $\alpha_1$ i $\beta_1$ veličine vanjskih kutova pravokutnog trokuta koji nisu pravi kutovi, a $\alpha$ i $\beta$ njima odgovarajući unutarnji kutovi. Veličina vanjskog kuta trokuta jednak je zbroju veličina dvaju unutarnjih kutova kojima on nije susjedan.

Dakle, $\alpha_1=90^\circ+\beta$ i $\beta_1=90^\circ+\alpha$, odnosno $\beta=\alpha_1-90^\circ$ i $\alpha=\beta_1-90^\circ$.

Uvrštavanjem tih vrijednosti u jednakost $\alpha+\beta=90^\circ$ dobije se:

$$\beta_1-90^\circ+\alpha_1-90^\circ=90^\circ,$$

tj. $\alpha_1+\beta_1=270^\circ$.

Treći način:

Neka su $\alpha_1$ i $\beta_1$ vanjski kutovi pravokutnog trokuta koji nisu pravi kutovi, a $\alpha$ i $\beta$ njima odgovarajući unutarnji kutovi.

Zbroj veličina unutarnjeg i njemu pripadnog vanjskog kuta iznosi $180^\circ$, pa vrijedi:

$$\alpha+\alpha_1=180^\circ \quad\text{i}\quad \beta+\beta_1=180^\circ,$$

pa je

$$\alpha+\alpha_1+\beta+\beta_1=360^\circ.$$

Budući da je $\alpha+\beta=90^\circ$, dobiva se $\alpha_1+\beta_1+90^\circ=360^\circ$, pa je

$$\alpha_1+\beta_1=270^\circ.$$

Četvrti način:

Zbroj veličina unutarnjeg i njemu pripadnog vanjskog kuta iznosi $180^\circ$, pa vrijedi:

$$\alpha+\alpha_1=180^\circ \quad\text{i}\quad \beta+\beta_1=180^\circ,$$

odnosno $\alpha_1=180^\circ-\alpha$ i $\beta_1=180^\circ-\beta$.

Uvrštavanjem u uvjet zadatka $\alpha_1:\beta_1=7:11$, dobiva se:

$$(180^\circ-\alpha):(180^\circ-\beta)=7:11$$ $$7\cdot(180^\circ-\beta)=11\cdot(180^\circ-\alpha)$$ $$1260^\circ-7\beta=1980^\circ-11\alpha$$ $$11\alpha-7\beta=720^\circ$$

Budući da je $\alpha+\beta=90^\circ$, vrijedi da je $\beta=90^\circ-\alpha$, pa je dalje:

$$11\alpha-7\cdot(90^\circ-\alpha)=720^\circ$$ $$11\alpha-630^\circ+7\alpha=720^\circ$$ $$18\alpha=1350^\circ$$ $$\alpha=75^\circ$$

Onda je $\beta=90^\circ-\alpha=15^\circ$.