3. Zadatak

Prvo rješenje.

Kovanica od $1$ kn ima točno onoliko koliko i kovanica od $5$ kn i $2$ kn zajedno pa možemo na svaku kovanicu od $5$ kn staviti kovanicu $1$ kn i tako dobiti „paketić“ od $6$ kn, te na svaku kovanicu od $2$ kn staviti $1$ kn i dobiti „paketić“ od $3$ kn.

Iznosi u kovanicama od $5$ kn i $2$ kn su jednaki pa na svake dvije kovanice od $5$ kn (tj. paketića od $6$ kn) dolazi pet kovanica od $2$ kn (tj. paketića od $3$ kn).

Dakle, sve kovanice možemo složiti u grupe tako da svaka grupa ima dva paketića od $6$ kn i pet paketića od $3$ kn te vrijedi

$$2\cdot6+5\cdot3=27\ \text{kn}.$$

Ukupan iznos je $108$ kn pa imamo

$$108:27=4$$

takve grupe.

U svakoj grupi imamo $2$ kovanice od $5$ kn, pa je ukupno $8$ takvih kovanica.

U svakoj grupi imamo $5$ kovanica od $2$ kn, pa je ukupno $20$ takvih kovanica.

U svakoj grupi imamo $7$ kovanica od $1$ kn, pa je ukupno $28$ takvih kovanica.

Drugo rješenje.

Ako u kasici ima $8$ kovanica od $5$ kn, $20$ kovanica od $2$ kn i $28$ kovanica od $1$ kn, onda u kasici ima točno

$$8\cdot5+20\cdot2+28\cdot1=108\ \text{kn}.$$

Ako smanjimo broj kovanica od $5$ kn, moramo smanjiti i broj kovanica od $2$ kn (i obrnuto) jer su njihovi iznosi jednaki. Isto ako povećamo jednu vrstu, moramo i drugu.

Ako bismo smanjili broj kovanica od $5$ kn i $2$ kn, morali bismo smanjiti broj kovanica od $1$ kn (jer njih ima kao od $5$ kn i $2$ kn zajedno), pa bi ukupan iznos bio manji od $108$.

Također, ako povećamo broj kovanica od $5$ kn i $2$ kn, morali bismo povećati broj kovanica od $1$ kn i iznos bi bio veći od $108$.

Dakle, postoji samo jedno rješenje, ono koje smo naveli na početku.

Treće rješenje.

Broj kovanica od $2$ kn mora biti višekratnik broja $5$.

Ako u kasici ima pet kovanica od $2$ kn, onda ima dvije kovanice od $5$ kn (jer je vrijednost jednih i drugih $10$).

To znači da ima $7$ kovanica od $1$ kn, pa u kasici ima ukupno $10+10+7=27$ kn, što nije istina.

Na sličan način bismo računali za veći broj kovanica od $2$ kn:

Broj kovanica 2 kn	Broj kovanica 5 kn	Broj kovanica 1 kn	Ukupna vrijednost
10	4	14	54
15	6	21	81
20	8	28	108
25	10	35	135

Kad bismo povećali broj kovanica od $2$ kn, povećao bi se i ukupan iznos.

To znači da se u kasici nalazi $20$ kovanica od $2$ kn, $8$ kovanica od $5$ kn i $28$ kovanica od $1$ kn.