5. Zadatak

Prvo rješenje.

Djeca među sobom dijele četiri jednake olovke pa svatko od njih može dobiti najviše četiri olovke. No, može se dogoditi da u nekoj podjeli neki od njih ne dobiju niti jednu olovku. Zato možemo imati ovih pet slučajeva:

$$\begin{aligned} 4&=4+0+0+0,\\ 4&=3+1+0+0,\\ 4&=2+2+0+0,\\ 4&=2+1+1+0,\\ 4&=1+1+1+1. \end{aligned}$$

Odredimo za svaki od tih slučajeva na koliko se različitih načina podjela olovaka može napraviti.

Podjela u kojoj jedno dijete dobiva sve četiri olovke može se napraviti na $4$ različita načina.

Podjela u kojoj jedno dijete dobiva tri olovke, a jedno dijete jednu olovku može se napraviti na $12$ različitih načina:

• dijete koje dobiva tri olovke možemo izabrati na $4$ načina
• za svaki odabir djeteta koje dobiva tri olovke, na $3$ načina možemo odabrati dijete koje će dobiti jednu olovku

Podjela u kojoj dvoje djece dobivaju po dvije olovke može se napraviti na $6$ različitih načina:

• prvo dijete možemo izabrati na $4$ načina, drugo na $3$ načina, no na taj način smo svaki odabir brojali dva puta, pa $12$ dijelimo s $2$

Podjela u kojoj jedno dijete dobiva dvije olovke, a dvoje djece po jednu olovku može se promatrati kao podjela u kojoj jedno dijete dobiva dvije olovke, a jedno dijete niti jednu. Takva se podjela može napraviti na $12$ različitih načina:

• odabir tog jednog djeteta koje dobije dvije olovke možemo napraviti na $4$ različita načina, a za svaki taj odabir na $3$ načina možemo odabrati dijete koje neće dobiti olovku, preostalo dvoje djece dobiva po jednu olovku

Podjela u kojoj svako dijete dobiva jednu olovku može se napraviti na $1$ način.

Četvero djece može među sobom podijeliti četiri jednake olovke na

$$4+12+6+12+1=35$$

različitih načina.

Drugo rješenje.

Kao u prvom načinu, imamo pet slučajeva.

Popunimo tablicu tako da za svako dijete napišemo koliko olovaka će dobiti:

Ante	Bruno	Cvijeta	Dunja
4	0	0	0
0	4	0	0
0	0	4	0
0	0	0	4
3	1	0	0
3	0	1	0
3	0	0	1
1	3	0	0
0	3	1	0
0	3	0	1
1	0	3	0
0	1	3	0
0	0	3	1
1	0	0	3
0	1	0	3
0	0	1	3
2	2	0	0
2	0	2	0
2	0	0	2
0	2	2	0
0	2	0	2
0	0	2	2
2	1	1	0
2	1	0	1
2	0	1	1
1	2	1	0
1	2	0	1
0	2	1	1
1	1	2	0
1	0	2	1
0	1	2	1
1	1	0	2
1	0	1	2
0	1	1	2
1	1	1	1

Četvero djece može među sobom podijeliti četiri jednake olovke na

$$4+12+6+12+1=35$$

različitih načina.