5. Zadatak

Neka je $S$ središte upisane kružnice trokuta ADC i središte opisane kružnice trokuta ABC i neka je $|\angle ABC|=\beta$.

Kutovi $\angle ASC$ i $\angle ABC$ su središnji i pripadni obodni kut nad tetivom $\overline{AC}$. Na temelju poučka o središnjem i obodnom kutu vrijedi da je $|\angle ASC|=2\beta$.

Iz trokuta ASC, koji je jednakokračan jer je $|SA|=|SC|$, može se zaključiti da je

$$|\angle SAC|=|\angle SCA|=\frac{180^\circ-2\beta}{2}=90^\circ-\beta.$$

Pravac AS je simetrala unutarnjeg kuta trokuta ADC (ABC) pri vrhu A pa je

$$\alpha=|\angle CAB|=2\cdot(90^\circ-\beta)=180^\circ-2\beta.$$

Na isti način vrijedi

$$|\angle ACD|=2\cdot(90^\circ-\beta)=180^\circ-2\beta.$$

Dalje možemo nastaviti na više načina.

Prvi način:

Pravac CD je simetrala kuta trokuta pri vrhu C pa je

$$\gamma=|\angle ACB|=2\cdot(180^\circ-2\beta)=360^\circ-4\beta.$$

Iz zbroja kutova trokuta ABC redom slijedi

$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$ $$\beta+(180^\circ-2\beta)+(360^\circ-4\beta)=180^\circ\Rightarrow5\beta=360^\circ\Rightarrow\beta=72^\circ$$ $$\alpha=180^\circ-2\cdot72^\circ=36^\circ$$ $$\gamma=180^\circ-(72^\circ+36^\circ)=72^\circ.$$

Trokut ABC je jednakokračan s kutovima veličina $72^\circ$, $72^\circ$ i $36^\circ$.

Drugi način:

Budući da je $|\angle CAB|=|\angle ACD|=180^\circ-2\beta$, trokut ADC je jednakokračan s osnovicom $\overline{AC}$.

Kut $\angle BDC$ je vanjski kut trokuta ADC i vrijedi da je

$$|\angle BDC|=|\angle DAC|+|\angle ACD|=2(180^\circ-2\beta)=360^\circ-4\beta.$$

Za kutove trokuta DBC vrijedi:

$$|\angle BDC|+|\angle CBD|+|\angle DCB|=180^\circ$$ $$(360^\circ-4\beta)+\beta+(180^\circ-2\beta)=180^\circ$$ $$5\beta=360^\circ$$ $$\beta=72^\circ.$$

Dalje slijedi da je $\gamma=72^\circ$ i $\alpha=180^\circ-2\cdot72^\circ=36^\circ$.

Treći način:

Zbog činjenice da je u trokutu ABC $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ i da je $\alpha=|\angle CAB|=180^\circ-2\beta$, vrijedi

$$180^\circ-2\beta+\beta+\gamma=180^\circ$$

odnosno $-\beta+\gamma=0$ što znači da je $\beta=\gamma$ i da je trokut ABC jednakokračan s osnovicom $\overline{BC}$.

Budući da je pravac CD simetrala kuta $\angle BCA$, zaključujemo da je $\gamma=2\alpha$, a onda je i $\beta=2\alpha$.

Konačno, uvrštavanjem dobivenih relacija u izraz $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ redom dobivamo:

$$\alpha+2\alpha+2\alpha=180^\circ,\quad5\alpha=180^\circ,\quad\alpha=36^\circ\text{ i }\beta=\gamma=2\cdot36^\circ=72^\circ.$$