3. Zadatak

Prilikom rješavanja koristi se svojstvo množenja cijelih brojeva: Umnožak cijelih brojeva je cijeli broj.

Dakle, pomnoži li se razlomak $\frac{4x-17}{5x+9}$ brojem 5, dobiveni će umnožak ponovno biti cijeli broj, tj. zadani razlomak pišemo u obliku

$$\frac{4x-17}{5x+9}\cdot5=\frac{20x-85}{5x+9}.$$

Brojnik novog razlomka rastavljamo tako da dobijemo dio koji je višekratnik nazivnika:

$$\frac{20x-85}{5x+9} =\frac{20x+36-121}{5x+9} =\frac{20x+36}{5x+9}-\frac{121}{5x+9} =\frac{4\cdot(5x+9)}{5x+9}-\frac{121}{5x+9} =4-\frac{121}{5x+9}.$$

Razlomak $\frac{4x-17}{5x+9}$ može biti cijeli broj samo ako je $\frac{121}{5x+9}$ cijeli broj.

Razlomak $\frac{121}{5x+9}$ će biti cijeli broj ako je nazivnik $5x+9$ djelitelj broja 121.

Djelitelji broja 121 su $1$, $-1$, $11$, $-11$, $121$, $-121$.

Za pozitivne djelitelje (1, 11 i 121) se ne dobivaju cjelobrojna rješenja.

Za negativne djelitelje ($-1$, $-11$ i $-121$) redom dobivamo:

a) $5x+9=-1\Rightarrow5x=-10\Rightarrow x=-2$,

b) $5x+9=-11\Rightarrow5x=-20\Rightarrow x=-4$,

c) $5x+9=-121\Rightarrow5x=-130\Rightarrow x=-26$.

Uvrštavanjem vrijednosti $x$ u razlomak $\frac{4x-17}{5x+9}$ slijedi:

a) za $x=-2$ je

$$\frac{4x-17}{5x+9}=\frac{-8-17}{-10+9}=\frac{-25}{-1}=25,$$

što je cijeli broj;

b) za $x=-4$ je

$$\frac{4x-17}{5x+9}=\frac{-16-17}{-20+9}=\frac{-33}{-11}=3,$$

što je cijeli broj;

c) za $x=-26$ je

$$\frac{4x-17}{5x+9}=\frac{-104-17}{-130+9}=\frac{-121}{-121}=1,$$

što je također cijeli broj.

Dakle, rješenja su cijeli brojevi $-2$, $-4$ i $-26$.