2. Zadatak

Prvi način.

Jednakosti

$$\frac{a+b}{3}=\frac{b+c}{4}=\frac{c+a}{5}$$

mogu se zapisati kao tri jednadžbe.

$$\frac{a+b}{3}=\frac{b+c}{4}\Rightarrow 4a+4b=3b+3c\Rightarrow b=3c-4a$$

$$\frac{b+c}{4}=\frac{c+a}{5}\Rightarrow 5b+5c=4c+4a\Rightarrow c=4a-5b$$

$$\frac{a+b}{3}=\frac{c+a}{5}\Rightarrow 5a+5b=3c+3a\Rightarrow 2a=3c-5b$$

Koristeći drugu i treću jednadžbu dobiva se:

$$c=4a-5b=2\cdot2a-5b=2\cdot(3c-5b)-5b=6c-10b-5b=6c-15b\Rightarrow5c=15b\Rightarrow c=3b.$$

Dalje, iz treće jednadžbe dobiva se:

$$2a=3c-5b=3\cdot3b-5b=9b-5b=4b\Rightarrow a=2b.$$

Nakon uvrštavanja dobivamo redom:

$$\overline{abc}=100\cdot a+10\cdot b+c=100\cdot2b+10\cdot b+3b=200b+10b+3b=213b.$$

Budući da su $a$, $b$ i $c$ znamenke, postoje tri troznamenkasta broja za $b\in\{1,2,3\}$, a traženi brojevi su 213, 426, 639.

Drugi način.

Raspisujući zadani uvjet redom dobivamo:

$$\frac{a+b}{3}=\frac{b+c}{4}=\frac{c+a}{5}=k,\qquad k>0.$$ $$\frac{a+b}{3}=k\Rightarrow a+b=3\cdot k\Rightarrow a=3k-b$$ $$\frac{c+a}{5}=k\Rightarrow c+a=5\cdot k\Rightarrow c=5k-a=5k-(3k-b)=5k-3k+b\Rightarrow c=2k+b$$ $$\frac{b+c}{4}=k\Rightarrow b+c=4\cdot k\Rightarrow b=4k-c=4k-(2k+b)=4k-2k-b=2k-b$$ $$b=2k-b\Rightarrow2b=2k\Rightarrow k=b.$$

Prema tome, za znamenke $a$, $b$ i $c$ vrijedi $a=2k$, $b=k$, $c=3k$, $k\in\mathbb{N}$. Uvrštavanjem prirodnih brojeva umjesto $k$, redom dobivamo:

$k$	1	2	3	4
$a=2k$	2	4	6	8
$b=k$	1	2	3	4
$c=3k$	3	6	9	12
$\overline{abc}$	213	426	639	-

Budući da su $a$, $b$ i $c$ znamenke postoje tri troznamenkasta broja za $b\in\{1,2,3\}$, a traženi brojevi su 213, 426, 639.