4. Zadatak

Prvi način:

Pravokutni trokuti $\triangle EBC$, $\triangle FCD$, $\triangle GDA$ i $\triangle HAB$ međusobno su sukladni prema poučku o sukladnosti trokuta S-K-S jer je

$$|EB|=|FC|=|GD|=|HA|=5\text{ cm}$$

i

$$|BC|=|CD|=|DA|=|AB|=10\text{ cm}.$$

Posljedica navedene sukladnosti je jednakost veličina odgovarajućih kutova tih trokuta:

$$|\angle HBA|=|\angle ECB|=|\angle FDC|=|\angle GAD|=\alpha,$$ $$|\angle BEC|=|\angle CFD|=|\angle DGA|=|\angle AHB|=\beta.$$

Budući da je $\alpha+\beta=90^\circ$, slijedi da su kutovi s vrhovima u točkama I, J, K i L pravi, tj. da je četverokut IJKL pravokutnik te da je

$$|\angle CBI|=|\angle DCJ|=|\angle ADK|=|\angle BAL|=\beta.$$

Pravokutni trokuti $\triangle ABL$, $\triangle BCI$, $\triangle CDJ$ i $\triangle DAK$ sukladni su prema poučku o sukladnosti trokuta K-S-K.

Zaključujemo da je $\overline{EC}$ usporedna s $\overline{AG}$ kao i $\overline{BH}$ s $\overline{FD}$.

Dužina $\overline{JF}$ srednjica je trokuta $\triangle BCI$ pa je

$$|IJ|=|CJ|=\frac{1}{2}|IC|\quad\text{i}\quad |JF|=\frac{1}{2}|IB|=x.$$

Analogno vrijedi za duljine stranica preostalih trokuta ($\triangle ABL$, $\triangle CDJ$ i $\triangle DAK$), a time i za duljine stranica četverokuta IJKL.

Dakle,

$$|JF|=|KG|=|LH|=|IE|=x$$

i

$$|CJ|=|IJ|=|DK|=|KJ|=|AL|=|LK|=|BI|=|IL|=2x.$$

Dakle, četverokut IJKL je kvadrat sa stranicom duljine $2x$.

Preostaje izračunati površinu kvadrata IJKL. To možemo napraviti na više načina.

Prvi način:

Prema gore dokazanom zaključujemo da vrijedi

$$|EC|=|EI|+|IJ|+|JC|=5x\quad\text{i}\quad |IC|=|IJ|+|JC|=4x.$$

Prema poučku K-K trokut $\triangle EBC$ sličan je trokutu $\triangle BIC$ pa vrijedi razmjer

$$EC:BC=BC:IC.$$

Uvrštavanjem poznatih podataka u taj razmjer dobivamo redom:

$$5x:10=10:4x$$ $$20\cdot x\cdot x=100$$ $$x\cdot x=5.$$

Konačno, površina kvadrata IJKL jednaka je

$$P(IJKL)=|IJ|\cdot|JK|=2x\cdot2x=4\cdot x\cdot x=4\cdot5=20\text{ cm}^2.$$

Drugi način:

Nadopunimo sliku s četiri pravokutna trokuta.

Trapeze IBFJ, JCGK, KDHL i LAEI moguće je nadopuniti do kvadrata pravokutnim trokutima BNF, COG, DPH i AME koji su sukladni trokutima CJF, DKG, ALH i BIE. Jednostavno je uočiti da je površina kvadrata ABCD jednaka površini pet manjih kvadrata (AMIL, BNJI, COKJ, DPLK i IJKL od kojih je jedan osjenčan), a koji su međusobno sukladni.

Dakle, površina osjenčanog kvadrata jednaka je $100:5=20\text{ cm}^2$.

Treći način:

Kvadrat ABCD možemo podijeliti na dva sukladna pravokutna trokuta $\triangle AGD$ i $\triangle CEB$. Svaki od njih ima površinu $25\text{ cm}^2$. To znači da je površina paralelograma AECG jednaka $50\text{ cm}^2$.

Paralelogram AECG sastavljen je od kvadrata IJKL (čiju površinu tražimo) i dvaju pravokutnih trapeza AEIL i JCGK. Duljine osnovica tih trapeza su $2x$ i $x$, a duljina visine im je jednaka $2x$. To znači da svaki od njih ima površinu

$$\frac{(2x+x)\cdot2x}{2}=3x\cdot x=3x^2,$$

a površina kvadrata jednaka je

$$2x\cdot2x=4x\cdot x=4x^2.$$

Prema tome, vrijedi $3x^2+3x^2+4x^2=50$, tj. $10x^2=50$, odakle je $4x^2=20$.

Površina kvadrata IJKL je $20\text{ cm}^2$.