4. Zadatak

Skica:

Neka se, primjerice, simetrale povučene iz vrhova A i B sijeku pod kutom od $111^\circ$, a simetrale povučene iz vrhova A i C pod kutom od $122^\circ$.

U trokutu ABD vrijedi

$$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + 111^\circ = 180^\circ,$$

odnosno

$$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 69^\circ.$$

Tada je $\alpha + \beta = 138^\circ$.

Iz trokuta ABC slijedi da je $\gamma = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$.

U trokutu ACD vrijedi

$$\frac{\alpha}{2} + \frac{\gamma}{2} + 122^\circ = 180^\circ,$$

odnosno

$$\frac{\alpha}{2} + \frac{\gamma}{2} = 58^\circ.$$

Tada je $\alpha + \gamma = 116^\circ$.

Iz trokuta ABC slijedi da je $\beta = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.

Onda je $\alpha = 180^\circ - (42^\circ + 64^\circ) = 74^\circ$. Kutovi su $42^\circ$, $64^\circ$ i $74^\circ$.