5. Zadatak

Dan je pravokutnik $ABCD$ . Na simetrali stranice $\overline{AB}$ , odnosno $\overline{BC}$ nalaze se točke $E$ i $G$ , odnosno $F$ i $H$ tako da je $|ES|=|SH|$ i $|FS|=|SG|$ , pri čemu je točka $S$ sjecište simetrala stranica $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ . Dokaži da je četverokut $EFGH$ jednakokračan trapez.

Rješenje

Neka je $s_1$ simetrala stranice $\overline{AB}$ , a $s_2$ simetrala stranice $\overline{BC}$ .

Pravokutnik i trapez na simetralama.

Kako je $s_1\perp AB$ , $s_2\perp BC$ i $AB\perp BC$ , onda je i $s_1\perp s_2$ . Budući da je $|ES|=|SH|$ i $|\angle ESH|=90^\circ$ , onda je $\triangle ESH$ jednakokračan pravokutan pa je $|\angle HES|=|\angle SHE|=45^\circ$ . No, i $|FS|=|SG|$ i $|\angle GSF|=90^\circ$ te i $\triangle FGS$ jednakokračan pravokutan, odnosno $|\angle SFG|=|\angle FGS|=45^\circ$ . S obzirom da je $|\angle FSE|=90^\circ$ , onda je $\triangle EFS$ pravokutan pa je $|\angle SEF|+|\angle EFS|=90^\circ$ . Dalje je

\begin{aligned}|\angle HEF|+|\angle EFG|&=(|\angle HES|+|\angle SEF|)+(|\angle EFS|+|\angle SFG|)\\&=|\angle HES|+(|\angle SEF|+|\angle EFS|)+|\angle SFG|\\&=45^\circ+90^\circ+45^\circ=180^\circ.\end{aligned}

To znači da je $EH\parallel FG$ te je $\square EFGH$ trapez. Kako je $|ES|=|SH|$ , $|\angle FSE|=|\angle HSG|=90^\circ$ i $|FS|=|SG|$ , prema teoremu S-K-S o sukladnosti slijedi $\triangle EFS\cong\triangle HGS$ . Iz sukladnosti slijedi $|EF|=|HG|$ te je time tvrdnja dokazana.