4. Zadatak

Prvi način:

Promotrimo sliku i prema uvjetu zadatka označimo odgovarajuće razmake:

Neka su $a$ i $b$ duljine susjednih stranica manjeg pravokutnika, $a>b$, a $x$ širina razmaka. Tada su duljine stranica pravokutnika ABCD jednake $|AB|=3\cdot a+4\cdot x$ i $|BC|=3\cdot b+4\cdot x$, a površina pravokutnika ABCD jednaka je $|AB|\cdot|BC|$ pa vrijedi jednakost

$$(3\cdot a+4\cdot x)\cdot(3\cdot b+4\cdot x)=697.$$

Rastavimo li broj 697 na proste faktore, dobit ćemo da je $697=41\cdot17$. Iz uvjeta $a>b$ slijedi da je $3\cdot a>3\cdot b$ odnosno $3\cdot a+4\cdot x>3\cdot b+4\cdot x$. Tada je $|AB|=3\cdot a+4\cdot x=41$ i $|BC|=3\cdot b+4\cdot x=17$.

U izrazu $3\cdot b+4\cdot x=17$ pribrojnik $4\cdot x$ uvijek je paran, a zbroj je neparan pa slijedi da je broj $b$ neparan broj manji od 7 ($3\cdot7=21$, $21>17$).

Za $b=1$ vrijedi $3+4\cdot x=17$ odnosno $4\cdot x=14$. No, rješenje ove jednadžbe nije prirodan broj.

Za $b=3$ vrijedi $9+4\cdot x=17$ odnosno $4\cdot x=8$ pa je $x=2$.

Za $b=5$ vrijedi $15+4\cdot x=17$ odnosno $4\cdot x=2$. No, rješenje ove jednadžbe nije prirodan broj.

Uvrstimo li $x=2$ u jednadžbu $3\cdot a+4\cdot x=41$ redom dobivamo $3\cdot a+8=41$, $3\cdot a=33$, tj. $a=11$.

Duljine stranica manjeg pravokutnika su 11 cm i 3 cm pa površina jednog manjeg pravokutnika iznosi $33\ \mathrm{cm}^2$. Površina svih devet manjih pravokutnika iznosi $297\ \mathrm{cm}^2$.

Površina osjenčanog dijela razlika je površine pravokutnika ABCD i površine devet manjih pravokutnika: $697-297=400\ \mathrm{cm}^2$.

Drugi način:

Promotrimo sliku i prema uvjetu zadatka označimo odgovarajuće razmake:

Neka su $a$ i $b$ duljine susjednih stranica manjeg pravokutnika, $a>b$, a $x$ širina razmaka. Tada su duljine stranica pravokutnika ABCD jednake $|AB|=3\cdot a+4\cdot x$ i $|BC|=3\cdot b+4\cdot x$, a površina pravokutnika ABCD jednaka je $|AB|\cdot|BC|$ pa vrijedi jednakost

$$(3\cdot a+4\cdot x)\cdot(3\cdot b+4\cdot x)=697.$$

Rastavimo li broj 697 na proste faktore, dobit ćemo da je $697=41\cdot17$. Iz uvjeta $a>b$ slijedi da je $3\cdot a>3\cdot b$ odnosno $3\cdot a+4\cdot x>3\cdot b+4\cdot x$. Tada je $|AB|=3\cdot a+4\cdot x=41$ i $|BC|=3\cdot b+4\cdot x=17$.

Iz uvjeta da i duljine stranica malih pravokutnika i razmaci budu prirodni brojevi u centimetrima mora vrijediti nejednakost $4\cdot x<17$.

Dakle, duljina razmaka $x$ može biti 1 cm, 2 cm, 3 cm ili 4 cm.

Za $x=1$ vrijedi $3\cdot b=17-4\cdot x=17-4\cdot1=13$, a u tom slučaju $b$ ne može biti prirodan broj.

Za $x=2$ vrijedi $3\cdot b=17-4\cdot x=17-4\cdot2=9$ iz čega slijedi da je $b=3$ cm.

Za $x=3$ vrijedi $3\cdot b=17-4\cdot x=17-4\cdot3=5$, a ni u tom slučaju $b$ ne može biti prirodan broj.

Za $x=4$ vrijedi $3\cdot b=17-4\cdot x=17-4\cdot4=1$, a ni u tom slučaju $b$ ne može biti prirodan broj.

To znači da može biti samo $b=3$ cm.

Dalje vrijedi da je $a=(41-4x):3=(41-4\cdot2):3=11$ cm.

Duljine stranica manjeg pravokutnika su 11 cm i 3 cm pa površina jednog manjeg pravokutnika iznosi $33\ \mathrm{cm}^2$. Površina svih devet manjih pravokutnika iznosi $297\ \mathrm{cm}^2$.

Površina osjenčanog dijela razlika je površine pravokutnika ABCD i površine devet manjih pravokutnika: $697-297=400\ \mathrm{cm}^2$.