3. Zadatak

Prvi način:

Promatramo skup prirodnih brojeva manjih od 2016 odnosno skup $\{1,2,3,4,\ldots,2015\}$.

Među prirodnim brojevima manjim od 2016 ima 1007 brojeva djeljivih brojem 2, 671 broj djeljiv brojem 3 i 335 brojeva djeljivih brojem 6 odnosno djeljivih istovremeno brojevima 2 i 3.

Dakle, među prirodnim brojevima manjim od 2016 ima $1007+671-335=1343$ broja djeljiva brojem 2 ili brojem 3 (moramo oduzeti 335 jer smo brojeve djeljive brojevima 2 i 3 brojali dvaput).

Brojeva koji su djeljivi brojevima 2 i 5 ima 201, brojeva djeljivih brojevima 3 i 5 ima 134, dok brojeva djeljivih brojem 6 (dakle, brojevima 2 i 3) i 5 ima 67.

Slijedi da brojeva koji su djeljivi brojem 2 ili brojem 3, ali i brojem 5, ima $201+134-67=268$ (one koji su djeljivi brojevima 2 i 3 opet smo brojali dvaput pa moramo oduzeti 67).

Konačno, brojeva manjih od 2016 koji su djeljivi brojem 2 ili brojem 3, a nisu djeljivi brojem 5 ima

$$1343-268=1075.$$

Drugi način:

Među prirodnim brojevima manjim od 2016 ima $2014:2=1007$ djeljivih brojem 2. Među prirodnim brojevima manjim od 2016 i koji su djeljivi brojem 2, oni koji su djeljivi brojem 5 ujedno su djeljivi brojem 10, a ima ih $2010:10=201$. Prirodnih brojeva manjih od 2016 koji su djeljivi brojem 2, ali nisu brojem 5 ima $1007-201=806$.

Među prirodnim brojevima manjim od 2016 ima $2013:3=671$ djeljiv brojem 3. Među prirodnim brojevima manjim od 2016 koji su djeljivi brojem 3, oni koji su djeljivi brojem 5 su ujedno djeljivi brojem 15, a ima ih $2010:15=134$. Prirodnih brojeva manjih od 2016 koji su djeljivi brojem 3, ali nisu brojem 5 ima $671-134=537$.

Među prirodnim brojevima manjim od 2016 ima $2010:6=335$ djeljivih brojevima 2 i 3 (odnosno brojem 6). Među prirodnim brojevima manjim od 2016 koji su djeljivi brojem 6, oni koji su djeljivi brojem 5 su ujedno djeljivi brojem 30, a ima ih $2010:30=67$. Prirodnih brojeva manjih od 2016 koji su djeljivi brojem 6, ali nisu brojem 5 ima $335-67=268$.

Prirodnih brojeva manjih od 2016 koji su djeljivi brojem 2 ili brojem 3, a nisu djeljivi brojem 5 ima

$$806+537-268=1075.$$

Brojeve djeljive brojevima 2 i 3 smo brojali dvaput pa smo morali oduzeti 268.