5. Zadatak

Prvi način:

Neka je $|AD|=x$.

Trokuti $\triangle AFD$ i $\triangle FBC$ su slični pravokutni trokuti po poučku KK ($|\angle AFD|=|\angle FBC|$ i oba imaju kutove veličine $90^\circ$).

Iz sličnosti trokuta vrijedi jednakost omjera:

$$\frac{6}{x}=\frac{x}{2}.$$

Nadalje je $x^2=12$, odnosno $x=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.

Neka je $E$ nožište visine iz vrha $F$ na stranicu $\overline{AB}$.

Tada je $|EF|=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,

pa je površina trokuta $\triangle ABF$ jednaka

$$P=\frac{8\cdot2\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2=8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2.$$

Drugi način:

Neka je $|AD|=x$.

Trokuti $\triangle AFD$ i $\triangle FBC$ su slični pravokutni trokuti po poučku KK ($|\angle AFD|=|\angle FBC|$ i oba imaju kutove veličine $90^\circ$).

Iz sličnosti trokuta vrijedi jednakost omjera:

$$\frac{6}{x}=\frac{x}{2}.$$

Nadalje je $x^2=12$, odnosno $x=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.

Uočimo da je trokut $\triangle ABF$ pravokutan.

To možemo ustanoviti uočivši da je $|\angle DAF|+|\angle AFD|=90^\circ$ i $|\angle FBC|+|\angle CFB|=90^\circ$ (zbroj veličina šiljastih kutova u trokutu je $90^\circ$) i uvjeta zadatka $|\angle AFD|=|\angle FBC|$,

odakle je $|\angle BFA|=180^\circ-|\angle AFD|-|\angle CFB|$, odnosno

$$|\angle BFA|=180^\circ-(|\angle AFD|+|\angle CFB|)=180^\circ-(|\angle FBC|+|\angle CFB|)=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Duljine hipotenuza $AF$ i $FB$ pravokutnih trokuta $\triangle AFD$ i $\triangle FBC$ su:

$$|AF|^2=36+12=48,\quad |AF|=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}\quad\text{i}\quad |BF|^2=4^2+12=16,\quad |BF|=4\ \mathrm{cm}.$$

Tako se površina trokuta $\triangle ABF$ može izračunati pomoću umnoška duljina njegovih kateta:

$$P=\frac{4\sqrt{3}\cdot4}{2}\ \mathrm{cm}^2=8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2.$$

Treći način:

Neka je $|AD|=x$.

Trokuti $\triangle AFD$ i $\triangle FBC$ su slični pravokutni trokuti po poučku KK ($|\angle AFD|=|\angle FBC|$ i oba imaju kutove veličine $90^\circ$).

Iz sličnosti trokuta vrijedi jednakost omjera:

$$\frac{6}{x}=\frac{x}{2}.$$

Nadalje je $x^2=12$, odnosno $x=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.

Duljine hipotenuza $AF$ i $FB$ pravokutnih trokuta $\triangle AFD$ i $\triangle FBC$ su:

$$|AF|^2=36+12=48,\quad |AF|=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}\quad\text{i}\quad |BF|^2=4^2+12=16,\quad |BF|=4\ \mathrm{cm}.$$

Obratom Pitagorinog poučka može se provjeriti da je $\triangle ABF$ pravokutan ($48+16=64$, a $64=|AB|^2$).

Tako se površina trokuta $\triangle ABF$ može izračunati pomoću umnoška duljina njegovih kateta:

$$P=\frac{4\sqrt{3}\cdot4}{2}\ \mathrm{cm}^2=8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2.$$