6. Zadatak

Prvi način:

Skica:

Neka je $a$ duljina osnovice, $b$ duljina kraka, a $r$ duljina polumjera tom trokutu upisane kružnice.

Trokuti $\triangle CC_1B$ i $\triangle SDC$ su slični po poučku KK: trokuti su pravokutni, a kut $\angle DCS$ im je zajednički.

Stoga vrijedi omjer duljina odgovarajućih stranica:

$$|C_1B|:|BC|=|SD|:|SC|.$$ $$|C_1B|=\frac{a}{2},\quad |SC|=20-r,$$

odnosno

$$\frac{a}{2}:b=r:(20-r).$$

Kako je $a:b=4:3$, onda je $2:3=r:(20-r)$,

odakle se dobije $r=8\ \mathrm{cm}$.

Drugi način:

Skica:

Neka je $a$ duljina osnovice, $b$ duljina kraka, a $r$ duljina polumjera tom trokutu upisane kružnice.

Iz omjera duljina osnovice i kraka slijedi $a:b=(4k):(3k)$, gdje je $k$ pozitivan realni broj.

Primjenom Pitagorinog poučka na trokut $\triangle CC_1B$, iz

$$20^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=b^2$$

slijedi

$$k=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm},$$ $$a=16\sqrt{5}\ \mathrm{cm},$$ $$b=12\sqrt{5}\ \mathrm{cm}.$$

Površina trokuta $\triangle ABC$ je

$$P=\frac{16\sqrt{5}\cdot20}{2}\ \mathrm{cm}^2=160\sqrt{5}\ \mathrm{cm}^2.$$

Zbroj površina trokuta $\triangle ABS$, $\triangle BCS$ i $\triangle CAS$ jednak je površini trokuta $\triangle ABC$, pa vrijedi:

$$\frac{16\sqrt{5}\cdot r}{2}+\frac{12\sqrt{5}\cdot r}{2}+\frac{12\sqrt{5}\cdot r}{2}=160\sqrt{5}.$$

Rješavanjem ove jednadžbe slijedi da je $r=8\ \mathrm{cm}$.

Treći način:

Skica:

Neka je $a$ duljina osnovice, $b$ duljina kraka, a $r$ duljina polumjera tom trokutu upisane kružnice.

Iz omjera duljina osnovice i kraka slijedi $a:b=(4k):(3k)$, gdje je $k$ pozitivan realni broj.

Primjenom Pitagorinog poučka na trokut $\triangle CC_1B$, iz

$$20^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=b^2$$

slijedi

$$k=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm},$$ $$a=16\sqrt{5}\ \mathrm{cm},$$ $$b=12\sqrt{5}\ \mathrm{cm}.$$

Trokuti $\triangle CC_1B$ i $\triangle SDC$ su slični po poučku KK: trokuti su pravokutni, a kut $\angle DCS$ im je zajednički.

Stoga vrijedi omjer duljina odgovarajućih stranica:

$$\frac{a}{2}:b=|SD|:|SC|,$$

odnosno

$$8\sqrt{5}:12\sqrt{5}=r:(20-r),$$

odakle se dobije $r=8\ \mathrm{cm}$.