1. Zadatak

Neka je $\alpha$ unutarnji te $\alpha'$ vanjski kut pravilnog mnogokuta. Znamo da je $\alpha+\alpha'=180°$.

Prema uvjetu zadatka je $\alpha:\alpha'=3:2$ pa je $\alpha=3k$ i $\alpha'=2k$. Stoga je $3k+2k=180°$, tj. $5k=180°$, odakle je $k=36°$. Prema tome, $\alpha=3k=108°$.

S druge strane, kako je zbroj unutarnjih kutova $n$–terokuta jednak $(n-2)\cdot180°$, slijedi da je $\alpha=\frac{(n-2)\cdot180°}{n}$.

Prema tome, vrijedi jednadžba

$$\frac{(n-2)\cdot180°}{n}=108°,$$

odakle je $\frac{n-2}{n}=\frac{108°}{180°}=\frac35$, tj. redom $5(n-2)=3n$, $2n=10$, pa je $n=5$.

Konačno, broj dijagonala pravilnog peterokuta jednak je $d=\frac{n(n-3)}{2}=\frac{5\cdot2}{2}=5$.