3. Zadatak

U ovom zadatku koristimo Gaussovu dosjetku. Izračunajmo prvo nazivnik razlomka na lijevoj strani jednadžbe. Imamo da je

$$\begin{aligned} 2+4+6+\cdots+2006+2008 &= 2(1+2+3+\cdots+1003+1004) \\ &=2\cdot\frac{1004\cdot1005}{2}=1004\cdot1005. \end{aligned}$$

Izračunajmo sada brojnik razlomka na lijevoj strani, služeći se prethodnim rezultatom. Naime, vrijedi

$$\begin{aligned} &1+3+5+\cdots+2007+2009 \\ &=(1+2+3+\cdots+2007+2008+2009)-(2+4+6+\cdots+2006+2008) \\ &=\frac{2009\cdot2010}{2}-1004\cdot1005=2009\cdot1005-1004\cdot1005 \\ &=1005\cdot(2009-1004)=1005\cdot1005. \end{aligned}$$

Prema tome, zadana jednadžba je ekvivalentna jednadžbi

$$\frac{1005\cdot1005}{1004\cdot1005}=\frac1x+\frac1{2008},$$

odakle je

$$\frac1x=\frac{1005}{1004}-\frac1{2008}=\frac{2010-1}{2008}=\frac{2009}{2008}.$$

Dakle, rješenje dane jednadžbe je $x=\frac{2008}{2009}$.