5. Zadatak

Prvi način: Rastavimo broj 2016 na proste faktore:

$$2016=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot7.$$

Kako je u pitanju jednakokračan trokut moramo potražiti dvije stranice jednakih duljina te provjeriti tvore li sve tri tako dobivene stranice trokut (odnosno je li zbroj duljina svake dvije stranice trokuta strogo veći od duljine treće). Dovoljno je provjeriti je li zbroj duljina krakova veći od duljine osnovice.

Krak $b$	Krak $b$	Osnovica $a$	$a+b>b$	$b+b>a$
1	1	2016	da	ne
2	2	$2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot7=504$	da	ne
$2\cdot2=4$	$2\cdot2=4$	$2\cdot3\cdot3\cdot7=126$	da	ne
$2\cdot2\cdot3=12$	$2\cdot2\cdot3=12$	$2\cdot7=14$	da	da
3	3	$2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot7=224$	da	ne
$3\cdot2=6$	$3\cdot2=6$	$2\cdot2\cdot2\cdot7=56$	da	ne

Možemo zaključiti da postoji samo jedno rješenje - trojka 12, 12, 14 te je opseg traženog trokuta

$$o=2\cdot12+14=38\ \text{cm}.$$

Drugi način: Napišemo li broj 2016 kao umnožak prostih faktora dobit ćemo da je

$$2016=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot7.$$

Budući da jednakokračan trokut ima (najmanje) dvije stranice jednakih duljina, kombiniranjem dobivamo sljedeće mogućnosti:

	1	2	3	4	6	12
$b$	1	2	3	4	6	12
$b$	1	2	3	4	6	12
$a$	2016	504	224	126	56	14

Budući da u svakom trokutu zbroj duljina svakih dviju stranica mora biti veći od duljine treće stranice, taj uvjet zadovoljava samo posljednja kombinacija. Dakle, duljina osnovice je 14 cm, a duljina krakova 12 cm.

Opseg tog trokuta je

$$12+12+14=38\ \text{centimetara}.$$