3. Zadatak

Prvi način:

Trokuti $QPS$ i $PSR$ su jednakokračni jer imaju po dvije stranice jednakih duljina.

U trokutu $QPS$ kutovi uz osnovicu $\overline{QS}$ su jednake veličine i iznose po

$$(180^\circ-12^\circ):2=84^\circ.$$

$\angle QSP$ je vanjski kut jednakokračnog trokuta $PSR$ (s osnovicom $\overline{PR}$) pa je

$$\left|\angle SPR\right|=\left|\angle SRP\right|=84^\circ:2=42^\circ.$$

Slijedi:

$$\left|\angle QPR\right|=\left|\angle QPS\right|+\left|\angle SPR\right|=12^\circ+42^\circ=54^\circ.$$

Drugi način: Prema uvjetu zadatka trokut $PQS$ je jednakokračan s osnovicom $\overline{QS}$ pa je

$$\alpha=\left|\angle PQS\right|=\left|\angle PSQ\right|=(180^\circ-12^\circ):2=168^\circ:2=84^\circ.$$

I trokut $PRS$ je jednakokračan (s osnovicom $\overline{PR}$) pa je $\beta=\left|\angle SPR\right|=\left|\angle SRP\right|$.

Budući da je $\angle PSQ$ vanjski kut trokuta $PRS$, zaključujemo da je

$$\beta=\left|\angle SPR\right|=\left|\angle SRP\right|=\frac{1}{2}\cdot\left|\angle PSQ\right|=\frac{1}{2}\cdot84^\circ=42^\circ.$$

Konačno je

$$\left|\angle QPR\right|=\left|\angle QPS\right|+\left|\angle SPR\right|=12^\circ+42^\circ=54^\circ.$$

Treći način: Prema uvjetu zadatka trokut $PQS$ je jednakokračan s osnovicom $\overline{QS}$ pa je

$$\alpha=\left|\angle PQS\right|=\left|\angle PSQ\right|=(180^\circ-12^\circ):2=168^\circ:2=84^\circ.$$

I trokut $PRS$ je jednakokračan (s osnovicom $\overline{PR}$) pa je $\beta=\left|\angle SPR\right|=\left|\angle SRP\right|$.

Budući da su $\angle QSP$ i $\angle PSR$ susjedni kutovi, tada je

$$\gamma=\left|\angle PSR\right|=180^\circ-\alpha=180^\circ-84^\circ=96^\circ.$$

U trokutu $PSR$ vrijedi $2\beta+96^\circ=180^\circ$, odakle je $2\beta=84^\circ$ pa je $\beta=42^\circ$.

Konačno je $\left|\angle QPR\right|=\left|\angle QPS\right|+\left|\angle SPR\right|=12^\circ+42^\circ=54^\circ$.