2. Zadatak

Traže se četveroznamenkasti brojevi oblika $\overline{ab5c}$ koji su djeljivi s 36, a znamenke $a$, $b$ i $c$ su međusobno različite.

Broj je djeljiv s 36 ako je djeljiv brojevima 4 i 9.

Uvjet djeljivosti brojem 4 daje da je dvoznamenkasti završetak $\overline{5c}$ jednak 52 ili 56, što znači da je znamenka $c=2$ ili $c=6$.

Prema tome, traže se brojevi oblika $\overline{ab52}$ ili $\overline{ab56}$ s međusobno različitim znamenkama koji su djeljivi s 9, odnosno kojima je zbroj znamenaka djeljiv s 9.

Zbroj znamenaka broja $\overline{ab52}$ je $7+a+b$ pa zbroj znamenaka $a+b$ može biti 2 ili 11.

Ako je zbroj znamenaka $a+b=2$, znamenke $a$ i $b$ mogu biti: $a=1$ i $b=1$ ili $a=2$ i $b=0$, ali obje mogućnosti otpadaju zbog ponavljanja znamenaka.

Ako je zbroj znamenaka $a+b=11$, znamenke $a$ i $b$ mogu biti: $a=2$ i $b=9$, $a=3$ i $b=8$, $a=4$ i $b=7$, $a=5$ i $b=6$, $a=6$ i $b=5$, $a=7$ i $b=4$, $a=8$ i $b=3$ ili $a=9$ i $b=2$. Zbog uvjeta različitosti znamenaka, preostaju: $a=3$ i $b=8$, $a=4$ i $b=7$, $a=7$ i $b=4$, $a=8$ i $b=3$.

Zbroj znamenaka broja $\overline{ab56}$ je $11+a+b$ pa zbroj znamenaka $a+b$ može biti 7 ili 16.

Ako je zbroj znamenaka $a+b=7$, znamenke $a$ i $b$ mogu biti: $a=1$ i $b=6$, $a=2$ i $b=5$, $a=3$ i $b=4$, $a=4$ i $b=3$, $a=5$ i $b=2$, $a=6$ i $b=1$ ili $a=7$ i $b=0$. Zbog uvjeta različitosti znamenaka, preostaju: $a=3$ i $b=4$, $a=4$ i $b=3$, $a=7$ i $b=0$.

Ako je zbroj znamenaka $a+b=16$, znamenke $a$ i $b$ mogu biti: $a=7$ i $b=9$, $a=8$ i $b=8$ ili $a=9$ i $b=7$. Preostaju rješenja $a=7$ i $b=9$, $a=9$ i $b=7$.

Rješenja su brojevi: 3852, 4752, 7452, 8352, 3456, 4356, 7056, 7956 i 9756.