4. Zadatak

Prvi način:

$\frac{3}{5}$ od $20$ je $12$.

Karlo i Ante nacrtali su $12$ istih zastava.

$\frac{1}{4}$ od $20$ je $5$.

Tomo i Ante nacrtali su $5$ istih zastava.

$\frac{2}{7}$ od $28$ je $8$.

Karlo i Tomo nacrtali su $8$ istih zastava.

Neka je $x$ broj zastava koje su nacrtala sva trojica, a $z$ ukupan broj svih zastava koje su nacrtali. Tada je $z=17\cdot x$ i vrijedi:

Broj zastava koje je nacrtao samo Ante je $3+x$.

Broj zastava koje je nacrtao samo Karlo je $5+x$.

Broj zastava koje je nacrtao samo Tomo je $15+x$.

$$17x=3+x+12-x+5+x+5-x+x+8-x+15+x$$ $$17x=48+x$$ $$16x=48$$ $$x=3$$

Broj različitih zastava koje su nacrtali Ante, Karlo i Tomo je $z=17\cdot3=51$.

Drugi način:

$\frac{3}{5}$ od $20$ je $12$.

Karlo i Ante nacrtali su $12$ istih zastava.

$\frac{1}{4}$ od $20$ je $5$.

Tomo i Ante nacrtali su $5$ istih zastava.

$\frac{2}{7}$ od $28$ je $8$.

Karlo i Tomo nacrtali su $8$ istih zastava.

Neka je $x$ broj zastava koje su nacrtala sva trojica, a $d$ ukupan broj svih zastava koje su nacrtali. Tada je $d=17\cdot x$.

Neka je $z$ broj zastava koje su nacrtali i Tomo i Ante, ali ne Karlo, $y$ broj zastava koje su nacrtali i Ante i Karlo, ali ne Tomo, a $u$ broj zastava koje su nacrtali i Karlo i Tomo, ali ne Ante. Tada vrijedi:

$$x+z=5$$ $$x+y=12$$ $$x+u=8$$

Tada je broj zastava koje je nacrtao samo Ante:

$$20-(x+y)-z=20-12-z=8-z.$$

Tada je broj zastava koje je nacrtao samo Karlo:

$$25-(x+u)-y=25-8-y=17-y.$$

Tada je broj zastava koje je nacrtao samo Tomo:

$$28-(x+z)-u=28-5-u=23-u.$$

Ukupan broj zastava koje su njih trojica nacrtali je

$$d=23-u+u+17-y+y+8-z+z+x=48+x.$$

Kako je $d=17x$ iz uvjeta zadatka, slijedi:

$$17x=48+x$$ $$16x=48$$ $$x=3$$

Broj različitih zastava koje su nacrtali Ante, Karlo i Tomo je $d=17\cdot3=51$.

Treći način:

$\frac{3}{5}$ od $20$ je $12$.

Karlo i Ante nacrtali su $12$ istih zastava.

$\frac{1}{4}$ od $20$ je $5$.

Tomo i Ante nacrtali su $5$ istih zastava.

$\frac{2}{7}$ od $28$ je $8$.

Karlo i Tomo nacrtali su $8$ istih zastava.

Neka je $x$ broj zastava koje su nacrtala sva trojica, a $d$ ukupan broj svih zastava koje su nacrtali. Tada je $d=17\cdot x$.

Neka je $z$ broj zastava koje su nacrtali i Tomo i Ante, ali ne Karlo, $y$ broj zastava koje su nacrtali i Ante i Karlo, ali ne Tomo, a $u$ broj zastava koje su nacrtali i Karlo i Tomo, ali ne Ante. Tada vrijedi:

$$x+z=5$$ $$x+y=12$$ $$x+u=8$$

Iz zapisanih jednakosti možemo zaključiti da je $x<5$.

Neka je $d=x+z+y+u+t+k+a$. Prema uvjetu zadatka vrijedi $17x=d$.

Za $x=1$:

$x$	$z$	$y$	$u$	$t=28-(z+x+u)$	$k=25-(y+x+u)$	$a=20-(z+x+y)$	$d$
$1$	$4$	$11$	$7$	$16$	$6$	$4$	$49$

Provjerom se lako vidi da $x=1$ ne zadovoljava uvjet $17x=49$.

Za $x=2$:

$x$	$z$	$y$	$u$	$t=28-(z+x+u)$	$k=25-(y+x+u)$	$a=20-(z+x+y)$	$d$
$2$	$3$	$10$	$6$	$17$	$7$	$5$	$50$

Provjerom se lako vidi da niti $x=2$ ne zadovoljava uvjet $17x=50$.

Za $x=3$:

$x$	$z$	$y$	$u$	$t=28-(z+x+u)$	$k=25-(y+x+u)$	$a=20-(z+x+y)$	$d$
$3$	$2$	$9$	$5$	$18$	$8$	$6$	$51$

Provjerom se lako vidi da $x=3$ zadovoljava uvjet $17x=51$.

Za $x=4$:

$x$	$z$	$y$	$u$	$t=28-(z+x+u)$	$k=25-(y+x+u)$	$a=20-(z+x+y)$	$d$
$4$	$1$	$8$	$4$	$19$	$9$	$7$	$52$

Provjerom se lako vidi da $x=4$ ne zadovoljava uvjet $17x=52$.

Broj različitih zastava koje su nacrtali Ante, Karlo i Tomo je $d=17\cdot3=51$.