3. Zadatak

Prvi način:

Neka je $x$ broj koji je zamislila Gea.

Niz od $2021$ člana koji nastaje na opisani način je niz brojeva:

$$x,\ x+1\cdot20.21,\ x+2\cdot20.21,\ \ldots,\ x+2020\cdot20.21.$$

Tada je:

$$x+x+1\cdot20.21+x+2\cdot20.21+\ldots+x+2020\cdot20.21=11.1\cdot2021\cdot2021$$ $$2021\cdot x+20.21\cdot(1+2+\ldots+2020)=11.1\cdot2021\cdot2021$$ $$2021\cdot x+20.21\cdot(2021\cdot2020):2=11.1\cdot2021\cdot2021$$ $$2021\cdot x+20.21\cdot1010\cdot2021=11.1\cdot2021\cdot2021\quad/:2021$$ $$x+20.21\cdot1010=11.1\cdot2021$$ $$x+2021\cdot10.1=11.1\cdot2021$$ $$x=11.1\cdot2021-2021\cdot10.1$$ $$x=2021\cdot(11.1-10.1)$$ $$x=2021\cdot1$$ $$x=2021$$

Gea je zamislila broj $2021$.

Drugi način:

Neka je $x$ broj koji je zamislila Gea.

Niz od $2021$ člana koji nastaje na opisani način je niz brojeva:

$$x,\ x+1\cdot20.21,\ x+2\cdot20.21,\ \ldots,\ x+2020\cdot20.21.$$

Tada je:

$$x+x+1\cdot20.21+x+2\cdot20.21+\ldots+x+2020\cdot20.21=11.1\cdot2021\cdot2021$$ $$2021\cdot x+20.21\cdot(1+2+\ldots+2020)=11.1\cdot2021\cdot2021$$ $$2021\cdot x+20.21\cdot(2021\cdot2020):2=11.1\cdot2021\cdot2021$$ $$2021\cdot x+20.21\cdot1010\cdot2021=11.1\cdot2021\cdot2021\quad/:2021$$ $$x+20.21\cdot1010=11.1\cdot2021$$ $$x+20412.1=22433.1$$ $$x=22433.1-20412.1$$ $$x=2021$$

Gea je zamislila broj $2021$.