2. Zadatak

Broj je djeljiv sa $45$ ako je djeljiv s $9$ i $5$. Broj je djeljiv s $9$ ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s $9$, a s $5$ ako mu je posljednja znamenka $0$ ili $5$.

Kako je znamenka desetica tri puta veća od znamenke stotica, moguće su sljedeće kombinacije tih dviju znamenaka:

znamenka stotica $0$, znamenka desetica $0$

znamenka stotica $1$, znamenka desetica $3$

znamenka stotica $2$, znamenka desetica $6$

znamenka stotica $3$, znamenka desetica $9$

Znamenka jedinica traženih četveroznamenkastih brojeva može biti $0$ ili $5$.

Ako je znamenka jedinica $0$, tada (zbog pravila o djeljivosti s $9$) imamo sljedeća rješenja: $9000$, $5130$, $1260$ i $6390$.

Ako je znamenka jedinica $5$, tada (zbog pravila o djeljivosti s $9$) imamo sljedeća rješenja: $4005$, $9135$, $5265$ i $1395$.

Zbroj svih četveroznamenkastih brojeva koji zadovoljavaju traženo svojstvo iznosi:

$$9000+5130+1260+6390+4005+9135+5265+1395=41580.$$

Broj je djeljiv s $18$ ako je djeljiv s $9$ i $2$. Broj je djeljiv s $9$ ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s $9$, a s $2$ ako mu je posljednja znamenka $0$, $2$, $4$, $6$ ili $8$.

Kako je znamenka stotica najveći jednoznamenkasti prosti broj, znamenka stotica je $7$.

Zbog pravila o djeljivosti s $9$ i $2$ imamo sljedeća rješenja: $720$, $702$, $792$, $774$, $756$ i $738$.

Zbroj svih troznamenkastih brojeva koji zadovoljavaju traženo svojstvo iznosi:

$$720+702+792+774+756+738=4482.$$

Tražena razlika je $41580-4482=37098$.