3. Zadatak

Neka su mase kutija $a,b,c,d$ i $e$ pri čemu je $a<b<c<d<e$.

Kada zbrajamo po dvije kutije, dobijemo ukupno $10$ zbrojeva:

$$a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.$$

Uočimo da se svaki broj pojavljuje u točno $4$ zbroja.

Stoga je zbroj svih $10$ zbrojeva $4\cdot(a+b+c+d+e)$.

Zbroj svih deset zadanih brojeva iznosi

$$114+85+122+74+133+118+147+99+107+93=1092.$$

Izjednačavanjem dobivenih zbrojeva imamo:

$$4\cdot(a+b+c+d+e)=1092$$ $$a+b+c+d+e=1092:4$$ $$a+b+c+d+e=273.$$

Dakle, zbroj svih $5$ masa je $273$ kg.

Najmanji zbroj dobijemo kada zbrojimo dva najmanja broja, a to su $a$ i $b$. Najveći zbroj dobijemo kada zbrojimo dva najveća broja, a to su $d$ i $e$. Dakle, najveće dvije mase imaju zbroj $d+e=147$ kg, a najmanje dvije $a+b=74$ kg.

Zbrajanjem jednakosti dobivamo $a+b+d+e=221$, a kako je $a+b+c+d+e=273$ slijedi da je $c=273-221=52$.

Drugi po veličini zbroj dobijemo kada zbrojimo najmanji i treći po veličini, a to su $a$ i $c$ pa je $a+c=85$ iz čega slijedi $a=85-52=33$.

$a+b=74$ pa je $b=74-33=41$.

Predzadnji po veličini zbroj dobijemo kada zbrojimo najveći i treći po veličini, a to su $c$ i $e$ pa je $c+e=133$ iz čega slijedi $e=133-52=81$.

$d+e=147$ pa je $d=147-81=66$.

Mase kutija su: $33$ kg, $41$ kg, $52$ kg, $66$ kg i $81$ kg.