3. Zadatak

Prvo rješenje.

Ostatak pri dijeljenju s $2$ može biti $1$ ili $0$, a ostatak pri dijeljenju s $5$ može biti $0$, $1$, $2$, $3$ ili $4$. Ako ostatci moraju biti međusobno jednaki, tada su to ostatci $0$ i $1$.

I. slučaj

Ako je ostatak pri dijeljenju s $2$ i s $5$ jednak $0$, zaključujemo da je broj djeljiv s $10$ i posljednja znamenka traženog broja je $c=0$.

Broj je djeljiv s $9$ ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s $9$, pa je $2+0+2+5+a+b+0=9+a+b$, $9+a+b\in\{9,18,27\}$, tj. $a+b\in\{0,9,18\}$.

Ako je $a+b=0$, tada je $a=b=0$. Takav je jedan broj.

Ako je $a+b=18$, tada je $a=b=9$. Takav je jedan broj.

Ako je $a+b=9$, tada je $b=9-a$. S obzirom da $a$ može biti bilo koja od $10$ znamenaka, takvih je deset brojeva.

II. slučaj

Ako je ostatak pri dijeljenju s $2$ jednak $1$, znamenka $c$ je neparna, tj. $c\in\{1,3,5,7,9\}$.

Ako je ostatak pri dijeljenju s $5$ jednak $1$, vrijedi $c\in\{1,6\}$.

Zaključujemo da vrijedi $c=1$.

Broj je djeljiv s $9$ ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s $9$, pa je $2+0+2+5+a+b+1=10+a+b$, $10+a+b\in\{18,27\}$, tj. $a+b\in\{8,17\}$.

Ako je $a+b=8$, tada je $b=8-a$ pa $a$ može biti bilo koja znamenka osim $9$. Takvih je devet brojeva.

Ako je $a+b=17$, takva su dva broja jer je $a=8$ i $b=9$ ili $a=9$ i $b=8$.

Ukupno, traženih brojeva oblika $\overline{2025abc}$ ima $23$.

Drugo rješenje.

Promatramo brojeve oblika $\overline{2025abc}$ koji su višekratnici broja $9$ te provjeravamo zadovoljavaju li uvjete zadatka, odnosno jesu li im ostatci pri dijeljenju brojem $2$ i brojem $5$ međusobno jednaki. Najmanji broj koji promatramo je $2025000$, najveći $2025999$, a među njima je $112$ višekratnika broja $9$ (to su brojevi oblika $2025000+9n$ za $n\in\{0,1,\ldots,111\}$).

	broj	ostatak pri dijeljenju s $2$	ostatak pri dijeljenju s $5$	uvjeti zadovoljeni
$1$	$2025000$	$0$	$0$	da
$2$	$2025009$	$1$	$4$	ne
$3$	$2025018$	$0$	$3$	ne
$4$	$2025027$	$1$	$2$	ne
$5$	$2025036$	$0$	$1$	ne
$6$	$2025045$	$1$	$0$	ne
$7$	$2025054$	$0$	$4$	ne
$8$	$2025063$	$1$	$3$	ne
$9$	$2025072$	$0$	$2$	ne
$10$	$2025081$	$1$	$1$	da
$11$	$2025090$	$0$	$0$	da
$12$	$2025099$	$1$	$4$	ne
$13$	$2025108$	$0$	$3$	ne
$14$	$2025117$	$1$	$2$	ne
$15$	$2025126$	$0$	$1$	ne
$16$	$2025135$	$1$	$0$	ne
$17$	$2025144$	$0$	$4$	ne
$18$	$2025153$	$1$	$3$	ne
$19$	$2025162$	$0$	$2$	ne
$20$	$2025171$	$1$	$1$	da
$21$	$2025180$	$0$	$0$	da
$22$	$2025189$	$1$	$4$	ne
...	...	...	...	...
$109$	$2025972$	$0$	$2$	ne
$110$	$2025981$	$1$	$1$	da
$111$	$2025990$	$0$	$0$	da
$112$	$2025999$	$1$	$4$	ne

Uvjet zadovoljavaju $1.$, $10.$ i $11.$, $20.$ i $21.$, $\ldots$ te $110.$ i $111.$ broj u tom nizu.

Nakon prvog broja imamo ukupno $11$ parova, odnosno $22$ broja.

Ukupno, traženih brojeva oblika $\overline{2025abc}$ ima $23$.