4. Zadatak

Prvi način:

Neka je točka $D$ nožište visine na osnovicu trokuta. Točka $P$ je polovište visine $\overline{AD}$.

Neka su točke $E$ i $F$ nožišta okomica iz točke $P$ na krakove $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$.

Neka je $|BC|=a$ i $|AB|=|AC|=b=2\sqrt{2}\ \text{cm}$.

Trokuti $AFP$ i $APE$ sukladni su po poučku o sukladnosti trokuta KSK ($\overline{AP}$ je zajednička stranica, $|\angle PAF|=|\angle PAE|$ jer je trokut $ABC$ jednakokračan, $|\angle PFA|=|\angle AEP|=90^\circ$, pa je i $|\angle APF|=|\angle EPA|$).

Neka je $|PE|=|PF|=k$, $k>0$. Iz uvjeta zadatka vrijedi da je $|PD|=3k$, odnosno duljina visine na osnovicu je $v_a=|AD|=6k$.

Površina trokuta $ABC$ jednaka je zbroju površina trokuta $BCP$, $CAP$ i $ABP$. Vrijedi:

$$p_{\Delta ABC}=p_{\Delta BCP}+p_{\Delta CAP}+p_{\Delta ABP}$$ $$\frac{|BC|\cdot|AD|}{2}=\frac{|BC|\cdot|PD|}{2}+\frac{|AC|\cdot|PE|}{2}+\frac{|AB|\cdot|PF|}{2}$$ $$\frac{a\cdot6k}{2}=\frac{a\cdot3k}{2}+\frac{b\cdot k}{2}+\frac{b\cdot k}{2}\quad/\!\cdot2$$ $$6ak=3ak+2bk$$ $$3a=2b$$ $$a=\frac{2}{3}\cdot b=\frac{2}{3}\cdot2\sqrt{2}=\frac{4}{3}\sqrt{2}\ \text{cm}.$$

Primjenom Pitagorina poučka na trokut $ADC$ izračunamo duljinu visine:

$$|AD|^2=|AC|^2-|DC|^2$$ $$v_a^2=b^2-\left(\frac{1}{2}\cdot a\right)^2$$ $$v_a^2=(2\sqrt{2})^2-\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\sqrt{2}\right)^2$$ $$v_a^2=8-\frac{8}{9}$$ $$v_a^2=\frac{64}{9}$$ $$v_a=\frac{8}{3}\ \text{cm}.$$

Konačno je

$$P=\frac{a\cdot v_a}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\sqrt{2}\cdot\frac{8}{3}=\frac{16}{9}\sqrt{2}\ \text{cm}^2.$$

Drugi način:

Neka je točka $D$ nožište visine na osnovicu trokuta. Točka $P$ je polovište visine $\overline{AD}$.

Neka je točka $E$ nožište okomice iz točke $P$ na krak $\overline{AC}$.

Neka je $|BC|=a$ i $|AB|=|AC|=b=2\sqrt{2}\ \text{cm}$.

Ako je $v_a$ duljina visine na osnovicu, onda iz uvjeta zadatka slijedi

$$|AP|=|PD|=\frac{v_a}{2}\quad\text{i}\quad|PE|=\frac{v_a}{6}.$$

Trokuti $ADC$ i $APE$ su slični (imaju iste kutove; oba su trokuta pravokutna i imaju isti kut $|\angle PAE|$).

Iz sličnosti trokuta $ADC$ i $APE$ slijedi:

$$\frac{a}{2}:b=\frac{v_a}{6}:\frac{v_a}{2},$$

odnosno

$$a=\frac{2}{3}b.$$

Slijedi

$$a=\frac{4\sqrt{2}}{3}\ \text{cm}.$$

Primjenom Pitagorina poučka na trokut $ADC$ izračunamo duljinu visine:

$$v_a^2=b^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2=8-\frac{8}{9}=\frac{64}{9},$$ $$v_a=\frac{8}{3}\ \text{cm}.$$

Konačno je

$$P=\frac{a\cdot v_a}{2}=\frac{16}{9}\sqrt{2}\ \text{cm}^2.$$

Treći način:

Neka je točka $D$ nožište visine na osnovicu trokuta. Točka $P$ je polovište visine $\overline{AD}$.

Neka je točka $E$ nožište okomice iz točke $P$ na krak $\overline{AC}$.

Neka je $|BC|=a$ i $|AB|=|AC|=b=2\sqrt{2}\ \text{cm}$.

Ako je $v_a$ duljina visine na osnovicu, onda iz uvjeta zadatka slijedi

$$|AP|=|PD|=3\cdot|PE|.$$

Neka je $|PE|=k$, $k>0$. Tada je $|AP|=3k$, a $v_a=6k$.

Primjenom Pitagorina poučka na trokut $APE$ slijedi:

$$|AE|^2=|AP|^2-|PE|^2=(3k)^2-k^2=8k^2,$$ $$|AE|=2\sqrt{2}k.$$

Trokuti $ADC$ i $APE$ su slični (pravokutni trokuti kojima je kut $|\angle PAE|$ zajednički).

Iz sličnosti trokuta $ADC$ i $APE$ slijedi:

$$|AP|:|AC|=|AE|:|AD|,$$ $$3k:2\sqrt{2}=2\sqrt{2}k:6k,$$

odnosno

$$k=\frac{4}{9}.$$

Slijedi da je

$$v_a=6\cdot\frac{4}{9}=\frac{8}{3}\ \text{cm}.$$

Primjenom Pitagorina poučka na trokut $ADC$ izračunamo osnovicu:

$$\left(\frac{a}{2}\right)^2=b^2-v_a^2,$$ $$\left(\frac{a}{2}\right)^2=8-\frac{64}{9}=\frac{8}{9},$$ $$\frac{a}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3},$$ $$a=\frac{4\sqrt{2}}{3}\ \text{cm}.$$

Konačno je

$$P=\frac{a\cdot v_a}{2}=\frac{16}{9}\sqrt{2}\ \text{cm}^2.$$