5. Zadatak
a) Koliko ima šesteroznamenkastih brojeva koji se mogu zapisati pomoću znamenaka i , pri čemu se ne mora koristiti svaka znamenka?
b) Koliko ima šesteroznamenkastih brojeva koji se mogu zapisati pomoću znamenaka i , takvih da se svaka znamenka koristi barem jednom?
Rješenje
Prvi način:
a) Za svaku od šest znamenki imamo pet mogućnosti.
Stoga ukupno imamo
takvih brojeva.
b) Da bi se svaka od znamenki koristila barem jednom, jedna znamenka se mora koristiti dvaput, a sve ostale po jednom.
Za to imamo 5 mogućnosti – dvaput se može pojaviti znamenka 1, 2, 3, 4 ili 5.
Za odabrani izbor znamenki (npr. ) za znamenku koja se pojavljuje dvaput možemo na
načina odabrati mjesta na kojima će se pojaviti.
Nakon toga preostale znamenke možemo rasporediti na načina.
To možemo načiniti na ukupno
načina.
Imamo 5 mogućnosti za izbor znamenke koje se pojavljuje dvaput, pa ukupno imamo
takvih brojeva.
Drugi način:
a) Za svaku od šest znamenki imamo pet mogućnosti.
Stoga ukupno imamo
takvih brojeva.
b) Da bi se svaka od znamenki koristila barem jednom, jedna znamenka se mora koristiti dvaput, a sve ostale po jednom.
Za to imamo 5 mogućnosti – dvaput se može pojaviti znamenka 1, 2, 3, 4 ili 5.
Za odabrani izbor znamenki (npr. ) te znamenke možemo raspoređivati na
načina.
(Obrazloženje: Najprije zamislimo da raspoređujemo šest različitih znamenaka na šest mjesta. Prvu možemo rasporediti na šest načina, drugu na pet, treću na četiri, itd… Takvim raspoređivanjem dobit ćemo dvaput više željenih brojeva, jer za svaki raspored dvije iste znamenke na dva fiksna mjesta, imamo još jedan takav raspored.)
Konačno, ukupno imamo
takvih brojeva.