5. Zadatak

Duljina stranice kvadrata je 1. Dokaži da za svaki pravac $p$ koji prolazi sjecištem dijagonala, ne prolazi niti jednim vrhom kvadrata te nije usporedan niti s jednom njegovom stranicom, vrijedi tvrdnja: “Zbroj kvadrata udaljenosti svih četiriju vrhova kvadrata od pravca $p$ jednak je 1.”

Službeni prikaz kvadrata i okomica na pravac m

Neka je točka $S$ sjecište dijagonala kvadrata $ABCD$ . Točkom $S$ nacrtan je bilo koji pravac $m$ .

Označimo redom točkama $M$ , $N$ , $P$ i $R$ nožišta okomica nacrtanih vrhovima $A$ , $B$ , $C$ , $D$ kvadrata na pravac $m$ .

Pogledajmo pravokutne trokute $\triangle DNS$ i $\triangle BPS$ . Budući da vrijedi $|DS|=|BS|$ i $|\angle DSN|=|\angle BSP|$ (vršni kutovi) i $|\angle DNS|=|\angle BPS|=90^\circ$ to su prema poučku K–S–K ta dva trokuta sukladna te slijedi da je $|DN|=|BP|=y$ .

Pogledajmo pravokutne trokute $\triangle ASM$ i $\triangle CSR$ . Budući da vrijedi $|AS|=|CS|$ i $|\angle ASM|=|\angle CSR|$ (vršni kutovi) i $|\angle AMS|=|\angle CRS|=90^\circ$ to su prema poučku K–S–K ta dva trokuta sukladna te slijedi da je $|AM|=|CR|=x$ .

Pogledajmo pravokutne trokute $\triangle ASM$ i $\triangle BPS$ . Budući da vrijedi $|AS|=|BS|$ i $|\angle ASM|=|\angle SBP|$ (kutovi sa okomitim kracima) i $|\angle AMS|=|\angle BPS|=90^\circ$ to su prema poučku K–S–K ta dva trokuta sukladna te slijedi da je $|AM|=|SP|=x$ .

Neka je dijagonala $|BD|=|AC|=d=\sqrt{2}$ . Primjenom Pitagorinog poučka na trokut $\triangle BPS$ dobijemo

|SP|^2+|BP|^2=|SB|^2\Rightarrow x^2+y^2=\left(\frac{d}{2}\right)^2

tj.

x^2+y^2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{1}{2}.

Tada je

|AM|^2+|CR|^2+|DN|^2+|BP|^2=x^2+x^2+y^2+y^2=2(x^2+y^2)=1.