3. Zadatak

Prvi način:

Vrijedi $50=2\cdot5^2$.

Svaki broj u tablici napišimo kao 1 ili kao umnožak prostih faktora.

Najprije u svako polje tablice upišimo broj 1, a potom ćemo neke od tih brojeva pomnožiti djeliteljima broja 50 većim od 1. U takvom zapisu, faktor 2 mora biti upisan u točno jednom polju u svakom retku i u točno jednom polju u svakom stupcu i to možemo učiniti na $3\cdot2\cdot1=6$ načina.

Nadalje, u takvom zapisu, faktor 5 mora biti ukupno upisan točno dvaput u svakom retku i točno dvaput u svakom stupcu. Razlikujemo tri mogućnosti:

(i) u svakom retku i u svakom stupcu faktor $5^2=25$ će biti napisan u točno jednom polju; takvih je mogućnosti $3\cdot2\cdot1=6$.

(ii) u svakom retku i u svakom stupcu faktor 5 će biti napisan u točno dva polja; i takvih mogućnosti ima $3\cdot2\cdot1=6$.

(iii) u jedno polje je upisan broj 25, a u četiri polja koja se ne nalaze u onim retcima i stupcima u kojem je 25, upisan je broj 5. Takvih rasporeda ima 9.

Dakle, za upisivanje faktora 5 imamo $6+6+9=21$ mogućnost.

Ukupno, broj različitih načina za upisivanje brojeva u tablicu koji zadovoljavaju uvjete zadatka je

$$6\cdot21=126.$$

Drugi način:

Iz rastava $50=2\cdot5^2$ se može zaključiti da u svakom retku i stupcu imamo jedan od sljedeća četiri rastava tri broja čiji je umnožak 50; to su

(i) $1\cdot1\cdot50$,

(ii) $1\cdot2\cdot25$,

(iii) $1\cdot5\cdot10$,

(iv) $2\cdot5\cdot5$.

Najprije, moguće je da u svakom stupcu i retku imamo uvijek isti rastav.

Zatim, uz rastav (i) u jednom retku i stupcu, moguće je imati samo dva rastava (ii) ili dva rastava (iii) u preostalim retcima i stupcima. Ako u niti jednom retku i stupcu nemamo rastav (i), onda preostaju samo mogućnosti da u retcima i stupcima imamo dva rastava (iii) i jedan rastav (iv) ili po jedan rastav (ii), (iii) i (iv).

Zato se tablica može ispuniti isključivo na sljedeće načine:

1. U svakom retku i stupcu je jedan broj 50 i dva broja 1. Broj takvih rasporeda je $3\cdot2\cdot1=6$.

2. U svakom retku i stupcu je jedan broj 2 i dva broja 5. Broj takvih rasporeda je $3\cdot2\cdot1=6$.

3. U svakom retku i stupcu su brojevi 25, 2 i 1. Broj takvih rasporeda je $6\cdot2\cdot1=12$.

4. U svakom retku i stupcu su brojevi 10, 5 i 1. Broj takvih rasporeda je $6\cdot2\cdot1=12$.

5. U jednom je polju broj 50, u dva polja u retku i dva polja u stupcu sa 50 je broj 1, a u preostala četiri polja su dva broja 10 i dva broja 5. Kako je 10 i 5 moguće upisati na dva načina, a 50 može biti na 9 mjesta, broj ovakvih rasporeda je $9\cdot2=18$.

50	1	1
1	10	5
1	5	10

50	1	1
1	5	10
1	10	5

6. U jednom je polju broj 50, u dva polja u retku i dva polja u stupcu sa 50 je broj 1, a u preostala četiri polja su dva broja 25 i dva broja 2. Kako je 25 i 2 moguće upisati na dva načina, a 50 može biti na 9 mjesta, broj ovakvih rasporeda je $9\cdot2=18$.

50	1	1
1	25	2
1	2	25

50	1	1
1	2	25
1	25	2

7. U jednom je polju broj 2, u dva polja u retku i dva polja u stupcu sa 2 je broj 5, a u preostala četiri polja su dva broja 10 i dva broja 1. Kako je 10 i 1 moguće napisati na dva načina, a 2 može biti na 9 mjesta, broj ovakvih rasporeda je $9\cdot2=18$.

2	5	5
5	10	1
5	1	10

2	5	5
5	1	10
5	10	1

8. U jednom je polju broj 25, a u retku i stupcu s njim 1 i 2, koji se mogu rasporediti na četiri načina. Ostala četiri polja su jednoznačno određena: u polju gdje se sijeku 1 i 1 je broj 10, a u ostala tri broj 5:

25	1	2
1	10	5
2	5	5

25	1	2
2	5	5
1	10	5

25	2	1
1	5	10
2	5	5

25	2	1
2	5	5
1	5	10

Budući se broj 25 može staviti na 9 mjesta, broj ovakvih rasporeda je $9\cdot4=36$.

To su sve mogućnosti.

Ukupan broj rasporeda jednak je $6\cdot2+12\cdot2+18\cdot3+36=126$.