4. Zadatak

Prvi način:

Neka je

$$\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}=n.$$

S obzirom da su i s lijeve i s desne strane jednadžbe nenegativni brojevi, kvadriranjem se dobiva ekvivalentna jednadžba:

$$x-4\sqrt{x-4}+2\sqrt{\left(x-4\sqrt{x-4}\right)\left(x+4\sqrt{x-4}\right)}+x+4\sqrt{x-4}=n^2$$ $$2x+2\sqrt{\left(x-4\sqrt{x-4}\right)\left(x+4\sqrt{x-4}\right)}=n^2$$ $$2\sqrt{x^2-16(x-4)}=n^2-2x$$ $$\sqrt{x^2-16x+64}=\frac{n^2}{2}-x$$ $$\sqrt{(x-8)^2}=\frac{n^2}{2}-x.$$

Za $4\le x\le8$ je $\sqrt{(x-8)^2}=-(x-8)$, a za $x>8$ je $\sqrt{(x-8)^2}=x-8$, što možemo zapisati kao

$$|x-8|=\frac{n^2}{2}-x.$$

Za $4\le x\le8$ zato vrijedi:

$$\begin{aligned} 8-x&=\frac{n^2}{2}-x\\ 8&=\frac{n^2}{2}\\ n^2&=16\\ n&=4 \end{aligned}$$

Dakle, za prirodne brojeve $x=4,5,6,7,8$ vrijednost zadanog izraza je prirodan broj 4.

Za $x>8$ je:

$$\begin{aligned} x-8&=\frac{n^2}{2}-x\\ \frac{n^2}{2}&=2x-8\\ n^2&=4x-16\\ n^2&=4(x-4) \end{aligned}$$

Prirodni broj $x-4$ mora biti potpuni kvadrat pa pišemo $x-4=t^2$, pri čemu je $x-4\ge9-4=5$, te je zato $t\ge3$.

Dakle, za prirodne brojeve $x>8$, rješenje je parametarsko $x=t^2+4$, pri čemu je $t\ge3$ prirodan broj.

Drugi način:

Neka je

$$n=\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}.$$

Tada je

$$\begin{aligned} n&=\sqrt{x-4-4\sqrt{x-4}+4}+\sqrt{x-4+4\sqrt{x-4}+4}\\ &=\sqrt{\left(\sqrt{x-4}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-4}+2\right)^2}\\ &=\left|\sqrt{x-4}-2\right|+\left|\sqrt{x-4}+2\right|. \end{aligned}$$

Vrijedi $\sqrt{x-4}-2>0$ za $x>8$ i $\sqrt{x-4}-2\le0$ za $4\le x\le8$, dok je $\sqrt{x-4}+2>0$ za svaki $x\ge4$.

Zato je, za $4\le x\le8$,

$$n=-\sqrt{x-4}+2+\sqrt{x-4}+2=4,$$

a za $x>8$ je

$$n=\sqrt{x-4}-2+\sqrt{x-4}+2=2\sqrt{x-4}.$$

S obzirom da je za $4\le x\le8$ broj $n$ uvijek prirodan broj 4, traženi brojevi u tom intervalu su $x=4,5,6,7,8$.

Potrebno je još naći sve prirodne brojeve $x>8$ za koje je $n=2\sqrt{x-4}$ također prirodan broj.

Slijedi $n^2=4(x-4)$.

Prirodni broj $x-4$ mora biti potpuni kvadrat pa pišemo $x-4=t^2$, pri čemu je $x-4\ge9-4=5$, te je zato $t\ge3$.

Dakle, za prirodne brojeve $x>8$, rješenje je parametarsko $x=t^2+4$, pri čemu je $t\ge3$ prirodan broj.