1. Zadatak

Neka su $a$, $b$ i $c$ standardne oznake za duljine stranica pravokutnog trokuta $ABC$.

Vrijedi Pitagorin poučak

$$a^2+b^2=c^2. \tag{1}$$

Primjenom Pitagorinog poučka na pravokutan trokut $A_1BC$, sa duljinama stranica $a$, $b+7$ i $c+5$, dobivamo:

$$a^2+(b+7)^2=(c+5)^2. \tag{2}$$

Primjenom Pitagorinog poučka na pravokutan trokut $A_2BC$, sa duljinama stranica $a$, $b-4$ i $c-2$, dobivamo:

$$a^2+(b-4)^2=(c-2)^2. \tag{3}$$

Nakon kvadriranja binoma dobivamo sustav jednadžbi:

$$\begin{aligned} a^2+b^2&=c^2 && (1*)\\ a^2+b^2+14b+49&=c^2+10c+25 && (2*)\\ a^2+b^2-8b+16&=c^2-4c+4 && (3*) \end{aligned}$$

Iz prvih dviju jednadžbi, oduzimanjem $(1*)$ od $(2*)$, ili supstitucijom $c^2=a^2+b^2$ dobije se

$$14b-10c=-24\quad /:2$$ $$7b-5c=-12. \tag{4}$$

Iz prve i treće jednadžbe, na sličan način dobije se

$$-8b+4c=-12\quad /:4$$ $$-2b+c=-3. \tag{5}$$

Sada se iz sustava jednadžbi $(4)$ i $(5)$ izračunaju $b$ i $c$:

$$\begin{aligned} 7b-5c&=-12\\ -2b+c&=-3 && /\cdot5\\ 7b-5c&=-12\\ -10b+5c&=-15\\ -3b&=-27\Rightarrow b=9\text{ cm}. \end{aligned}$$

Iz $(5)$ slijedi: $c=2b-3=18-3=15$ cm.

Tada je $a^2=15^2-9^2=225-81=144\Rightarrow a=12$ cm.

Površina trokuta $ABC$ jednaka je: $P=\dfrac{a\cdot b}{2}=\dfrac{12\cdot9}{2}=54\text{ cm}^2$.