2. Zadatak

Prvi način:

Razmotrimo sve moguće varijante parnosti brojeva $m$, $n$, $p$.

1. mogućnost:

Jedan od tih brojeva je neparan, a druga dva parna.

Kvadrat neparnog broja je neparan, a parnog broja paran, pa je lijeva strana neparna.

Na desnoj strani su svi pribrojnici parni jer je umnožak neparnog i parnog, kao i parnog i parnog, parni broj.

Dakle, ovakva je mogućnost isključena.

2. mogućnost:

Jedan od brojeva je paran, a druga dva neparna.

Kvadrati neparnih brojeva su neparni, a njihov zbroj je paran, pa je lijeva strana parna.

Na desnoj strani su tri pribrojnika parna, a samo jedan neparan (umnožak dvaju neparnih brojeva). Stoga je cijeli zbroj neparan.

Time je i ta mogućnost isključena.

3. mogućnost:

Sva su tri broja parna. Brojeve možemo zapisati u obliku $m=2a$, $n=2b$ i $p=2c$ pa jednakost poprima oblik:

$$(2a)^2+(2b)^2+(2c)^2=4ab+4ac+4bc+50$$ $$4(a^2+b^2+c^2)=4(ab+ac+bc+12)+2$$

Lijeva strana je djeljiva s 4, a desna pri dijeljenju s 4 ima ostatak 2, što isključuje i ovu jednakost.

4. mogućnost:

Sva su tri broja neparna. Brojeve možemo zapisati u obliku $m=2a+1$, $n=2b+1$, $p=2c+1$ i jednakost poprima oblik:

$$(2a+1)^2+(2b+1)^2+(2c+1)^2=(2a+1)(2b+1)+(2a+1)(2c+1)+(2b+1)(2c+1)+50$$ $$4a^2+4a+1+4b^2+4b+1+4c^2+4c+1=4ab+2a+2b+1+4ac+2a+2c+1+4bc+2b+2c+1+50$$ $$4(a^2+a+b^2+b+c^2+c)+3=4(ab+ac+bc+a+b+c+13)+1$$

Lijeva strana pri dijeljenju s 4 ima ostatak 3, a desna 1, što konačno isključuje i ovu mogućnost.

Dakle, ne postoje prirodni brojevi $m$, $n$ i $p$ koji zadovoljavaju zadanu jednakost.

Drugi način:

Najprije pomnožimo zadanu jednakost s 2:

$$2m^2+2n^2+2p^2=2mn+2np+2pm+100.$$

Sada to možemo malo drugačije zapisati kao:

$$m^2-2mn+n^2+n^2-2np+p^2+p^2-2pm+m^2=100,$$ $$(m-n)^2+(n-p)^2+(p-m)^2=100. \tag{1}$$

Uvedemo li oznake $x^2=(m-n)^2$, $y^2=(n-p)^2$, $z^2=(p-m)^2$, izraz $(1)$ zapisujemo kao

$$x^2+y^2+z^2=100.$$

Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je $x^2\ge y^2\ge z^2$.

Analizirajmo mogućnosti:

$x^2$	$y^2+z^2$	$y^2$	$y^2$	$z^2$
100	0	0	0	0 (ne može jer bi vrijedilo $n=p$ i $p=m$, pa bi bilo $m=n$, što je u suprotnosti s tim da je $x^2=100$)
81	19	$\le16$	16	3 (nije kvadrat prirodnog broja)
			$\le9$	ne može jer je $y^2\ge z^2$
64	36	$\le36$	36	0 (ne može jer bi bilo $p=m$, pa bi prema tome vrijedilo $y^2=(n-m)^2$, a kako je $x^2=(m-n)^2$, značilo bi da je $y^2=x^2$, što ne vrijedi jer je $x^2=64$, a $y^2=36$)
			25	11 (nije kvadrat prirodnog broja)
			$\le16$	ne može jer je $y^2\ge z^2$
49	51	$\le49$	49	2 (nije kvadrat prirodnog broja)
			36	15 (nije kvadrat prirodnog broja)
			$\le25$	ne može jer je $y^2\ge z^2$
36	64	$\le36$ jer $x^2\ge y^2$	36	28 (nije kvadrat prirodnog broja)
			$\le25$	ne može jer je $y^2\ge z^2$
25	$\le25$	$\le25$		ne može jer bi zbroj iznosio najviše 75

Time smo zaključili da ne postoje brojevi $m$, $n$ i $p$ koji zadovoljavaju zadanu jednakost.