4. Zadatak

Prema oznakama na slici vrijedi

$$|AC|=b,\quad |BC|=a,\quad |AB|=c=20\ \mathrm{cm},$$ $$|CF|=|CE|=|ED|=|DF|=r,\quad |AF|=|AG|=b-r,\quad |BE|=|BG|=a-r.$$

Iz svojstva pravokutnog trokuta slijedi $R=\frac{c}{2}=10$ cm.

Iz omjera $r:R=2:5$ slijedi $r=4$ cm.

Nadalje je $|AB|=|AG|+|GB|=b-r+a-r=20$ pa je $a+b=20+2r=28$ cm.

Za opseg $O$ trokuta $ABC$ vrijedi $O=(a+b)+c=28+20=48$ cm.

Kako je $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ i $a^2+b^2=c^2$ vrijedi

$$2ab=(a+b)^2-c^2$$

odnosno $2ab=384$ pa je $ab=192$.

Za površinu $P$ trokuta $ABC$ vrijedi

$$P=\frac{ab}{2}=96\ \mathrm{cm}^2.$$