3. Zadatak

U pravokutniku $ABCD$ označimo $|\overline{AB}|=a$ i $|\overline{BC}|=b$.

Kako je širina pravokutnika $\frac{1}{4}$ duljine pravokutnika, vrijedi $b=\frac{1}{4}a$, odnosno $a=4b$.

Tada je površina pravokutnika $P_{ABCD}=ab=4b\cdot b$.

Tada vrijedi:

$$4b\cdot b=144,$$ $$b\cdot b=36,$$ $$b=6\ \mathrm{cm}, \text{ odnosno } a=24\ \mathrm{cm}.$$

Kako su osjenčani četverokuti sukladni, odredimo površinu jednog od njih. Označimo taj četverokut s $MNED$.

Površina tog četverokuta jednaka je razlici površina dvaju trokuta, tj.

$$P_{MNED}=P_{MND}-P_{END}.$$

Označimo s $\overline{MK}$ visinu trokuta $\triangle MND$.

Kako je duljina stranice $\overline{ND}$ trećina duljine stranice $a$ pravokutnika, a duljina visine $\overline{MK}$ je širina pravokutnika $ABCD$, vrijedi:

$$|\overline{ND}|=\frac{1}{3}\cdot24=8\ \mathrm{cm},$$ $$|\overline{MK}|=6\ \mathrm{cm} \quad \text{i} \quad P_{MND}=\frac{|\overline{ND}|\cdot|\overline{MK}|}{2}=\frac{8\cdot6}{2}=24\ \mathrm{cm}^2.$$

Označimo s $\overline{EH}$ visinu trokuta $\triangle END$.

Kako točka $E$ pripada simetrali stranice $\overline{BC}$ odnosno $\overline{AD}$, onda je duljina dužine $\overline{EH}$ polovina širine pravokutnika $ABCD$, tj.

$$|\overline{EH}|=\frac{6}{2}=3\ \mathrm{cm}.$$

To znači da je $P_{END}=\frac{|\overline{ND}|\cdot|\overline{EH}|}{2}=\frac{8\cdot3}{2}=12\ \mathrm{cm}^2$.

Sada je $P_{MNED}=P_{MND}-P_{END}=24-12=12\ \mathrm{cm}^2$ pa je ukupna osjenčana površina $3\cdot12=36\ \mathrm{cm}^2$.

Napomena: Za određivanje površine $\triangle END$ može se koristiti činjenica da trokuti $\triangle END$ i $\triangle MND$ imaju zajedničku osnovicu $\overline{ND}$, a za duljine odgovarajućih visina vrijedi

$$|\overline{MK}|=|\overline{AD}|,\quad |\overline{EH}|=\frac{1}{2}|\overline{AD}| \quad \text{pa je} \quad |\overline{EH}|=\frac{1}{2}|\overline{MK}|.$$

Stoga vrijedi: $P_{END}=\frac{1}{2}P_{MND}=\frac{24}{2}=12\ \mathrm{cm}^2$.