4. Zadatak

Prvo rješenje.

Pravac $DC$ siječe $AB$ u točki $E$. Pravac $BC$ siječe $AD$ u točki $F$.

Neka je $|AF|=x$, $|FD|=y$ i $|AC|=12$.

Kako je $|\angle BAD|=|\angle CBA|=45^\circ$, slijedi da je $ABF$ jednakokračan trokut,

iz čega slijedi $|BF|=x$.

Kako je $|\angle AFB|=180^\circ-2\cdot45^\circ=90^\circ$,

slijedi da je $|\angle DFC|=90^\circ$ te iz $|\angle FDC|=45^\circ$ slijedi $|\angle DCF|=45^\circ$,

pa i trokut $CDF$ jednakokračan,

iz čega slijedi $|FC|=y$.

Trokut $ACF$ je pravokutan trokut, pa je prema Pitagorinom poučku $x^2+y^2=12^2$.

Površina četverokuta $ABCD$ jednaka je zbroju površina pravokutnih trokuta $ABF$ i $CDF$. Stoga vrijedi

$$\begin{aligned} P(ABCD)&=P(ABF)+P(CDF)\\ &=\frac{x\cdot x}{2}+\frac{y\cdot y}{2}=\frac{x^2+y^2}{2}\\ &=\frac{12^2}{2}=\frac{144}{2}=72. \end{aligned}$$

Dakle, svaki četverokut koji zadovoljava uvjete zadatka ima površinu $72$.

Napomena: Analogno se može promatrati pravokutne trokute $AED$ i $BCE$.

Drugo rješenje.

Neka je točka $E$ sjecište pravaca $AB$ i $CD$, točka $F$ sjecište pravaca $AD$ i $BC$, a točka $G$ sjecište pravaca $AC$ i $BD$.

Za svaki četverokut koji zadovoljava uvjete zadatka vrijede sljedeće tvrdnje.

Trokut $AED$ je jednakokračni pravokutni trokut, pa je $|AE|=|ED|$.

Trokut $ABF$ je jednakokračni pravokutni trokut, pa je $|AF|=|BF|$.

Trokut $CDF$ je jednakokračni pravokutni trokut, pa je $|FD|=|FC|$.

Trokuti $ACF$ i $BDF$ su pravokutni i duljine kateta su im jednake, pa su oni sukladni.

Zbog toga je $|DB|=|AC|=12$.

Dužine $\overline{BF}$ i $\overline{DE}$ su dvije visine trokuta $ABD$, a njihovo sjecište, točka $C$, ortocentar je tog trokuta.

Budući da točka $G$ pripada stranici $\overline{BD}$, a dužina $\overline{AG}$ sadrži točki $C$, zaključujemo da je dužina $\overline{AG}$ visina trokuta $ABD$, a dužina $\overline{CG}$ visina trokuta $BDC$.

Površina četverokuta $ABCD$ jednaka je razlici površina trokuta $ABD$ i $BDC$, pa je

$$\begin{aligned} P_{ABCD}&=P_{ABD}-P_{BDC}\\ &=\frac{1}{2}\cdot|DB|\cdot|AG|-\frac{1}{2}\cdot|DB|\cdot|CG|\\ &=\frac{1}{2}\cdot|DB|\cdot(|AG|-|CG|)\\ &=\frac{1}{2}\cdot|DB|\cdot|AC|\\ &=\frac{12\cdot12}{2}=72. \end{aligned}$$

Dakle, svaki četverokut koji zadovoljava uvjete zadatka ima površinu $72$.