3. Zadatak

Neka je $p=2$. Tada je $2^2+2=4+2=6$, pa je zadani izraz složen broj.

Neka je $p=3$. Tada je $3^2+2=9+2=11$, pa je zadani izraz prost broj.

Neka je $p>3$ prost broj.

Tada $p$ nije djeljiv s $3$, pa mora biti oblika $p=3k+1$ ili $p=3k+2$, gdje je $k\in\mathbb{N}$.

Za $p=3k+1$ slijedi

$$\begin{aligned} p^2+2&=(3k+1)^2+2\\ &=9k^2+6k+1+2=9k^2+6k+3\\ &=3(3k^2+2k+1). \end{aligned}$$

Dobiveni je izraz djeljiv brojem $3$, pa nije prost broj.

Za $p=3k+2$ slijedi

$$\begin{aligned} p^2+2&=(3k+2)^2+2\\ &=9k^2+12k+4+2=9k^2+12k+6\\ &=3(3k^2+4k+2). \end{aligned}$$

Dobiveni je izraz djeljiv brojem $3$, pa nije prost broj.

Dakle, $p=3$ je jedino rješenje.