5. Zadatak
Koliko ima peteroznamenkastih brojeva u čijem se zapisu koriste tri različite znamenke, a nijedna se znamenka ne pojavljuje više od dva puta?
Prvo rješenje.
Broj je peteroznamenkast, pa se točno dvije znamenke pojavljuju dva puta, a treća samo jednom.
Mjesto na koje će doći znamenka koja se pojavljuje točno jednom biramo na načina.
Preostaje četiri mjesta te biramo na koja dva mjesta će biti iste znamenke. To možemo na jedan od tri načina: , i .
Dakle, imamo načina za odabrati na kojim mjestima će biti iste znamenke.
Znamenku na mjestu desettisućica (te eventualno onu koja joj je jednaka) možemo odabrati na načina jer ta znamenka ne može biti .
Prvu sljedeću znamenku na najvećoj mjesnoj vrijednosti (te eventualno onu koja joj je jednaka) možemo također odabrati na načina jer mora biti različita od prethodne.
Preostalu znamenku (te eventualno onu koja joj je jednaka) možemo odabrati na načina jer mora biti različita od prethodne dvije.
Dakle, tri različite znamenke koje koristimo u peteroznamenkastom broju biramo na načina.
Ukupno ima traženih peteroznamenkastih brojeva.
Drugo rješenje.
Broj je peteroznamenkast, pa se točno dvije znamenke pojavljuju dva puta, a treća samo jednom.
Prvi slučaj. Prebrojimo sve tražene brojeve koji ne sadrže nulu.
Znamenku koja se pojavljuje jednom možemo odabrati i smjestiti na odgovarajuće dekadsko mjesto na načina.
Za najveću slobodnu mjesnu vrijednost biramo znamenku na načina, a na načina biramo drugo dekadsko mjesto te iste znamenke.
Potom na načina biramo znamenku za preostala dva mjesta.
Ukupno, traženih brojeva koji ne sadrže nulu ima .
Drugi slučaj. Prebrojimo sve tražene brojeve koji sadrže točno jednu nulu.
Nulu možemo rasporediti na mjesta (jer ne može biti na vodećem mjestu).
Za najveću slobodnu mjesnu vrijednost biramo znamenku na načina, a potom na načina biramo drugo mjesto te iste znamenke.
Na kraju, na načina biramo koja znamenku za preostala dva mjesta.
Ukupno, traženih brojeva koji sadrže jednu nulu ima .
Treći slučaj. Prebrojimo sve tražene brojeve koji sadrže točno dvije nule.
Osim nule pojavljuju se dvije znamenke. Vodeću znamenku biramo na načina, a preostalu znamenku različitu od nule na načina.
Razlikujemo dvije mogućnosti ovisno o tome pojavljuje li se vodeća znamenka jednom ili dvaput.
Ako se vodeća znamenka pojavljuje jednom, onda dvije nule možemo rasporediti na mjesta, jer niti jedna od njih ne može biti na vodećem mjestu, a njihovom međusobnom zamjenom se ne dobiva novi broj. Znamenku za preostala dva mjesta biramo na načina, pa u tom slučaju imamo takva broja.
Ako se vodeća znamenka pojavljuje dvaput, onda na načina biramo drugo mjesto za tu znamenku. Mjesto za znamenku koja se javlja jednom biramo na načina, a na preostala dva mjesta moraju biti nule, pa u ovom slučaju imamo takva broja.
Konačno, broj traženih peteroznamenkastih brojeva je .