5. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz uvjeta zadatka je vidljivo da sve nagrade moraju biti podijeljene, ali sve djevojčice ne moraju dobiti isti broj nagrada.

Razlikujemo tri slučaja $1-1-4$, $2-2-2$, $1-2-3$, pri čemu brojevi označavaju koliko nagrada dobiva neka osoba.

U svakom slučaju trebamo odrediti na koliko načina možemo odabrati koja djevojčica će dobiti koji broj nagrada, te koje točno nagrade dobiva.

1° Slučaj $1-1-4$

Na tri načina možemo odrediti koja djevojčica dobiva četiri nagrade.

Recimo da Iva i Ana dobivaju po jednu, a Tea četiri nagrade. Ivinu nagradu možemo odabrati na $6$ načina, Aninu na $5$ načina, a za Teu će tada preostati $4$ nagrade koje onda možemo odabrati samo na jedan način. Dobivamo $6\cdot5\cdot1=30$ načina.

Analogno zaključujemo u preostala dva slučaja, pa je ukupan broj načina u ovom slučaju $30\cdot3=90$.

2° Slučaj $2-2-2$

Ivine dvije nagrade od ukupno $6$ nagrada možemo odabrati na $(6\cdot5):2=15$ načina, Anine dvije od preostale $4$ nagrade možemo odabrati na $(4\cdot3):2=6$ načina, i na kraju, za Teu preostaju dvije nagrade koje onda biramo na jedan način.

Dakle, broj načina podjele nagrada u ovom slučaju je $15\cdot6\cdot1=90$.

Sve djevojčice dobivaju po dvije nagrade, pa ne moramo birati koja dobiva koliko nagrada.

3° Slučaj $1-2-3$

Imamo šest načina da odaberemo koja djevojčica će dobiti jednu, dvije ili tri nagrade.

Recimo da Iva dobije jednu, Ana dvije, a Tea tri nagrade.

Ivinu jednu nagradu možemo odabrati na $6$ načina, tada će za Anu preostati $5$ nagrada pa njene dvije od tih pet nagrada možemo odabrati na $(5\cdot4):2=10$ načina, a za Teu će ostati tri nagrade koje možemo odabrati na jedan način. Dakle, broj načina podjele nagrada u kojima će Iva dobiti jednu, Ana dvije, a Tea tri nagrade je $6\cdot10\cdot1=60$.

Ukupan broj načina podjele nagrada u ovom slučaju je $60\cdot6=360$.

Konačno, $6$ različitih nagrada možemo podijeliti Ivi, Ani i Tei na $90+90+360=540$ načina, a da pri tom svaka djevojčica dobije barem jednu nagradu.

Drugo rješenje.

Odredimo broj svih rasporeda, u kojima neke djevojčice neće dobiti nagrade, i od njega oduzmimo broj rasporeda u kojima baš neka od njih neće dobiti nagradu.

Svaku od $6$ nagrada možemo dati bilo kojoj od tri djevojčice. Po teoremu o uzastopnom prebrojavanju, nagrade možemo raspodijeliti na

$$3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=3^6=27\cdot27=729$$

načina.

Međutim, tu smo prebrojali i one načine u kojima jedna ili dvije djevojčice neće dobiti niti jednu nagradu.

Ako Iva ne dobije niti jednu nagradu, onda svih $6$ nagrada dijelimo samo Ani i Tei. To možemo napraviti na

$$2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^6=8\cdot8=64$$

načina.

Analogno, ako Ana ili Tea neće dobiti niti jednu nagradu, taj broj treba pomnožiti s $3$, tj. $64\cdot3=192$.

No, tada smo dvaput prebrojali slučajeve u kojima po dvije djevojčice neće dobiti niti jednu nagradu.

To se događa na $3$ moguća načina (sve nagrade Ivi, sve nagrade Ani ili sve nagrade Tei).

Dakle, broj načina podjele nagrada u kojima jedna ili dvije djevojčice neće dobiti niti jednu nagradu je $192-3=189$.

Konačno, $6$ različitih nagrada možemo podijeliti Ivi, Ani i Tei na $729-189=540$ načina, a da pri tom svaka djevojčica dobije barem jednu nagradu.