4. Zadatak

Prvo rješenje.

Kako vrijedi $V(a,b,c)=400$ rastavimo broj $400$ na proste faktore:

$$400=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5=2^4\cdot5^2.$$

Iz uvjeta $D(a,b)=4$, zaključujemo da su brojevi $a$ i $b$ višekratnici broja $4$.

Iz rastava broja $400$ na proste faktore zaključujemo da su

$$a,b\in\{4,16,20,80,100,400\}.$$

Iz rastava broja $400$ na proste faktore i uvjeta $D(a,b,c)=2$ zaključujemo da je broj $c$ višekratnik broja $2$, ali ne i broja $4$, pa vrijedi

$$c\in\{2,10,50\}.$$

Ako je $c=2$, vrijedi $a,b\in\{4,400\}$ i $a,b\in\{16,100\}$.

Ako je $c=10$, vrijedi $a,b\in\{4,400\}$ i $a,b\in\{16,100\}$.

Ako je $c=50$, vrijedi $a,b\in\{4,16\}$, $a,b\in\{4,80\}$, $a,b\in\{4,400\}$, $a,b\in\{16,20\}$, $a,b\in\{16,100\}$.

Tražene uređene trojke brojeva su:

$$\begin{gathered} (4,400,2),\ (16,100,2),\ (4,400,10),\ (16,100,10),\\ (4,16,50),\ (4,80,50),\ (4,400,50),\ (16,20,50),\ (16,100,50). \end{gathered}$$

Ili, tražene trojke brojeva učenik može prikazati tablicom.

$c$	2	2	10	10	50	50	50	50	50
$a$	4	16	4	16	4	4	4	16	16
$b$	400	100	400	100	16	80	400	20	100

Drugo rješenje.

Uočimo da je

$$V(a,b,c)=400=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5.$$

Iz uvjeta zadatka slijedi da je

$$a=4\cdot k\quad\text{i}\quad b=4\cdot l$$

pri čemu je $D(k,l)=1$ i $k<l$,

$$c=2\cdot m,$$

a $m$ je neparan, zbog $D(a,b,c)=2$.

Točno jedan od brojeva $k$ i $l$ mora biti djeljiv s $4$ i točno jedan djeljiv s $5$ ili $25$.

Također to znači da može biti $m=1$, $m=5$ ili $m=25$.

To daje sljedećih $9$ mogućnosti za:

$$\begin{aligned} (k,l,m)\in\{&(1,100,1),(1,100,5),(1,100,25),(4,25,1),(4,25,5),\\ &(4,25,25),(1,20,25),(4,5,25),(1,4,25)\} \end{aligned}$$

pa slijedi:

$$\begin{aligned} (a,b,c)\in\{&(4,400,2),(4,400,10),(4,400,50),(16,100,2),(16,100,10),\\ &(16,100,50),(4,16,50),(4,80,50),(16,20,50)\}. \end{aligned}$$

Treće rješenje.

Kako vrijedi $V(a,b,c)=400$, rastavimo broj $400$ na proste faktore:

$$400=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5=2^4\cdot5^2.$$

Uočimo da su brojevi $2$ i $5$ jedini prosti faktori u rastavu broja $400$ pa tako $a$, $b$, $c$ nemaju drugih prostih faktora.

Kako se faktor $2$ javlja $4$ puta, jedan od brojeva mora sadržavati sva ta četiri faktora ($2^4=16$), a zbog uvjeta $D(a,b)=4$ zaključujemo da drugi broj mora sadržavati $2^2=4$.

Brojeve $a$ i $b$ tada možemo zapisati $a=16\cdot k$ i $b=4\cdot l$ ili $a=4\cdot k$ i $b=16\cdot l$.

Zbog uvjeta $D(a,b,c)=2$, treći broj $c$ smije sadržavati samo jedan faktor $2$ pa ga možemo zapisati $c=2\cdot m$.

Pri tome traženi brojevi mogu sadržavati najviše dva faktora $5$, pazeći da $a$ i $b$ nemaju istovremeno faktor $5$ zbog $D(a,b)=4$.

Zbog $D(a,b,c)=2$, broj $c$ ne smije istovremeno imati zajednički faktor $5$ s brojevima $a$ i $b$.

Ako promatramo broj faktora $5$, mogući su sljedeći slučajevi:

$(k,l,m)$	$a=16\cdot k$, $b=4\cdot l$, $c=2\cdot m$	$a=4\cdot k$, $b=16\cdot l$, $c=2\cdot m$
$(1,1,25)$ tj. $a$ i $b$ ne sadrže faktor $5$, broj $c$ sadrži dva faktora $5$	$(16,4,50)$	$(4,16,50)$
$(1,5,25)$ tj. $a$ ne sadrži faktor $5$, $b$ sadrži jedan faktor $5$, $c$ sadrži dva faktora $5$	$(16,20,50)$	$(4,80,50)$
$(5,1,25)$ tj. $a$ sadrži jedan faktor $5$, $b$ ne sadrži faktor $5$, $c$ sadrži dva faktora $5$	$(80,4,50)$	$(20,16,50)$
$(1,25,25)$ tj. $a$ ne sadrži faktor $5$, $b$ i $c$ sadrže dva faktora $5$	$(16,100,50)$	$(4,400,50)$
$(25,1,25)$ tj. $a$ sadrži dva faktora $5$, $b$ ne sadrži faktor $5$, $c$ sadrži dva faktora $5$	$(400,4,50)$	$(100,16,50)$
$(25,1,5)$ tj. $a$ sadrži dva faktora $5$, $b$ ne sadrži faktor $5$, $c$ sadrži jedan faktor $5$	$(400,4,10)$	$(100,16,10)$
$(1,25,5)$ tj. $a$ ne sadrži faktor $5$, $b$ sadrži dva faktora $5$, $c$ sadrži jedan faktor $5$	$(16,100,10)$	$(4,400,10)$
$(25,1,1)$ tj. $a$ sadrži dva faktora $5$, $b$ i $c$ ne sadrže faktor $5$	$(400,4,2)$	$(100,16,2)$
$(1,25,1)$ tj. $a$ i $c$ ne sadrže faktor $5$, $b$ sadrži dva faktora $5$	$(16,100,2)$	$(4,400,2)$

Ukupno postoji $18$ mogućnosti od kojih samo $9$ zadovoljava uvjet $a<b$:

$$\begin{gathered} (4,16,50),\ (16,20,50),\ (4,80,50),\ (16,100,50),\ (4,400,50),\\ (16,100,10),\ (4,400,10),\ (16,100,2)\ \text{i}\ (4,400,2). \end{gathered}$$