1. Zadatak

U novčaniku se nalazi šest međusobno različitih kovanica centa i eura (5 centi, 10 centi, 20 centi, 50 centi, 1 € i 2 €). Iz novčanika se, istovremeno i bez gledanja, izvlače tri kovanice. Na koliko se različitih načina mogu izvući kovanice tako da je njihova ukupna vrijednost veća od 85 centi?

Prvo rješenje.

Budući da je zbroj vrijednosti svih kovanica u centima $5+10+20+50=85$ centi, zaključujemo da zbroj vrijednosti bilo koje od te tri kovanice nikad neće biti veći od 85 centi.

Kako bi zbroj vrijednosti kovanica bio veći od 85 centi, barem jedna od tri kovanice mora biti kovanica od 1 € ili 2 €.

Kovanice izvlačimo istovremeno pa nije bitan redoslijed zapisivanja izvučenih kovanica.

Mogućnosti za izvučene kovanice s traženim svojstvom su:

{1 €, 5 centi, 10 centi}
{1 €, 5 centi, 20 centi}
{1 €, 5 centi, 50 centi}
{1 €, 10 centi, 20 centi}
{1 €, 10 centi, 50 centi}
{1 €, 20 centi, 50 centi}
{2 €, 5 centi, 10 centi}
{2 €, 5 centi, 20 centi}
{2 €, 5 centi, 50 centi}
{2 €, 10 centi, 20 centi}
{2 €, 10 centi, 50 centi}
{2 €, 20 centi, 50 centi}
{2 €, 1 €, 5 centi}
{2 €, 1 €, 10 centi}
{2 €, 1 €, 20 centi}
{2 €, 1 €, 50 centi}

Takve se kovanice mogu izvući na 16 različitih načina.

Drugo rješenje.

Budući da je zbroj vrijednosti svih četiriju kovanica u centima $5+10+20+50=85$ centi, zaključujemo da zbroj vrijednosti bilo koje od te tri kovanice nikad neće biti veći od 85 centi.

Kako bi zbroj vrijednosti kovanica bio veći od 85 centi, barem jedna od tri kovanice mora biti kovanica od 1 € ili 2 €.

Razlikujemo tri slučaja.

1. slučaj: jedna kovanica je od 1 €, a među preostale dvije nije kovanica od 2 €.

Od preostale četiri kovanice (5 centi, 10 centi, 20 centi, 50 centi) izvlačimo dvije kovanice. Prvu možemo izvući na 4 načina, a drugu na 3 načina.

Kako redoslijed izvlačenja nije bitan, ukupan broj mogućnosti je $\frac{4\cdot3}{2}=6$ .

2. slučaj: jedna kovanica je od 2 €, a među preostale dvije nije kovanica od 1 €.

Ovaj slučaj je analogan prethodnome. Od preostale četiri kovanice (5 centi, 10 centi, 20 centi, 50 centi) izvlačimo dvije kovanice. Kako redoslijed izvlačenja nije bitan, ukupan broj mogućnosti je $\frac{4\cdot3}{2}=6$ .

3. slučaj: izvučena je jedna kovanica od 1 € i jedna kovanica od 2 €.

Treća kovanica može biti bilo koja od preostale četiri kovanice (5 centi, 10 centi, 20 centi, 50 centi) pa su to 4 mogućnosti.

Ukupan broj mogućnosti za izvučene kovanice je $6+6+4=16$ .