5. Zadatak

Neka je $\overline{abc}$ traženi troznamenkasti broj gdje su $a$, $b$ i $c$ znamenke takve da je $a\ne0$.

Tada je $\overline{cba}$ troznamenkasti broj čije su znamenke u obrnutom redoslijedu, $c\ne0$.

$\overline{cba}=100c+10b+a$ pa je za 50 % manji od njega (njegova polovina) broj oblika $50c+5b+0.5a$.

Promatrani zbroj je

$$\overline{abc}+\frac12\overline{cba}=100a+10b+c+50c+5b+0.5a=100.5a+15b+51c.$$

Budući da zbroj treba biti prirodan troznamenkasti broj, tada $0.5a$, tj. $100.5a$ mora biti prirodan broj. Zato $a$ mora biti paran.

Dakle, $a\in\{2,4,6,8\}$.

1. slučaj

Neka je $a=2$.

Tada je promatrani zbroj $201+15b+51c$.

Zbroj ima najveću vrijednost ako je $c=9$ i $b=8$, $201+120+459=780$.

2. slučaj

Neka je $a=4$.

Tada je promatrani zbroj $402+15b+51c$.

Zbroj ima najveću vrijednost ako je $c=9$ i $b=8$, $402+120+459=981$.

3. slučaj

Neka je $a=6$.

Tada je promatrani zbroj $603+15b+51c$.

$$\begin{aligned} 603+15b+51c&\le999\\ 15b+51c&\le396\\ 15b&\le396-51c \end{aligned}$$

$c$	$51c$	$396-51c$
7	357	39	$b=2$
6	306	90	$b=6$
5	255	141	$b=9$

Najveći zbroj je kad je $c=6$, $b=6$, ali $b=c$ pa taj slučaj odbacujemo.

Sljedeći najveći zbroj je za $c=5$, $b=9$, $603+255+135=993$.

4. slučaj

Neka je $a=8$.

Tada je promatrani zbroj $804+15b+51c$.

$$\begin{aligned} 804+15b+51c&\le999\\ 15b+51c&\le195\\ 15b&\le195-51c \end{aligned}$$

$c$	$51c$	$195-51c$
3	153	42	$b=2$
2	102	93	$b=6$
1	51	144	$b=9$

Zbroj ima najveću vrijednost ako je $c=2$, $b=6$, $804+90+102=996$.

Od svih mogućnosti, najveći troznamenkasti zbroj dobiva se ako odaberemo broj 862.