4. Zadatak

Zadan je jednakokračan trokut $ABC$ s osnovicom $\overline{AB}$ koja je kraća od kraka. Točka $D$ je sjecište simetrale kuta $\angle BAC$ i kraka $\overline{BC}$ . Odredi veličine kutova trokuta $ABC$ ako je trokut $ABD$ jednakokračan.

Skica:

Skica jednakokračnog trokuta ABC sa simetralom kuta BAC i točkom D

Kako je $\angle CDA$ vanjski kut trokuta $ABD$ , slijedi da je $|\angle CDA|=\alpha+\frac\alpha2=\frac32\alpha$ .

Prema uvjetu zadatka trokut $ABD$ jednakokračan. Promotrimo koje stranice mogu biti krakovi trokuta $ABD$ .

Promatramo tri slučaja.

1. slučaj:

Neka je $|AD|=|BD|$ .

Kako je $|\angle DBA|=\alpha>\frac\alpha2=|\angle BAD|$ , slijedi da je $|AD|>|BD|$ pa stranice $\overline{AD}$ i $\overline{BD}$ ne mogu biti krakovi trokuta $ABD$ .

2. slučaj:

Neka je $|AB|=|BD|$ .

Tada je $|\angle ADB|=|\angle BAD|=\frac\alpha2$ .

Kutovi $\angle CDA$ i $\angle ADB$ su sukuti pa je

|\angle CDA|+|\angle ADB|=\frac32\alpha+\frac\alpha2=2\alpha=180^\circ

tj.

\alpha=90^\circ.

To nije moguće jer trokut ne može imati dva prava kuta.

Stranice $\overline{AB}$ i $\overline{BD}$ ne mogu biti krakovi trokuta $ABD$ .

(Ili: Da bi bilo $|AB|=|BD|$ , točka $D$ mora ležati na visini iz vrha $C$ na osnovicu jednakokračnog trokuta $ABC$ , što je nemoguće jer je $D$ na kraku između točaka $B$ i $C$ .)

3. slučaj:

Neka je $|AB|=|AD|$ .

Tada je $|\angle ADB|=|\angle DBA|=\alpha$ .

Kako je zbroj veličina kutova u trokutu $180^\circ$ , za trokut $ABD$ vrijedi

\begin{aligned} \frac\alpha2+\alpha+\alpha&=180^\circ\\ \alpha&=72^\circ \end{aligned}

Nadalje,

|\angle ACB|=180^\circ-2\cdot72^\circ=36^\circ.

Veličine unutarnjih kutova trokuta $ABC$ su $72^\circ$ , $72^\circ$ , $36^\circ$ .