Postoje li cijeli brojevi x i y za koje vrijedi da je x2+2012=y2? Obrazloži svoju tvrdnju. Ako postoje takvi brojevi, odredi ih sve.
Jednadžbu x2+2012=y2 možemo zapisati
2012=y2−x2 ili (y−x)(y+x)=2012.
Dalje je
(y−x)(y+x)=2⋅2⋅503.
a)
y+xy−x==21006daje rjesˇenje (−502,504),
y+xy−x==−2−1006daje rjesˇenje (502,−504),
y+xy−x==−1006−2daje rjesˇenje (−502,−504),
y+xy−x==10062daje rjesˇenje (502,504).
b)
y+xy−x==4503(i slicˇne kombinacije) nema rjesˇenje u skupu cijelih brojeva.
c)
y+xy−x==12012(i slicˇne kombinacije) nema rjesˇenje u skupu cijelih brojeva.